8.2. Напряжения и перемещения при действии инерционных нагрузок

Основные положения и уравнения

Рассмотрим длинный толстостенный цилиндр, нагруженный симметрично относительно оси. Обозначим а наружный, b внутренний, а текущий радиусы цилиндра. Выделим из цилиндра элемент (рис. 8.2). Считаем, что на гранях элемента длинной возникают меридиональные , окружные и радиальные напряжения.

П роектируя все силы на направления радиуса и оси цилиндра и полагая, что внешняя нагрузка постоянна по всей его длине, получим два уравнения равновесия (движения) :

, (8.16)

, (8.17)

где Х – интенсивность массовых сил.

Соотношения Коши для рассматриваемой задачи (рис. 8.2) можно записать в виде.

(8.18)

где , и - деформации соответственно в радиальном, окружном и осевом направлениях;

U(r) и w(r,z) - перемещения некоторой точки цилиндра в направлении соответственно радиуса и оси.

По закону Гука получим связь между напряжениями и деформациями :

, (8.19)

, (8.20)

, (8.21)

где Е – модуль Юнга;  - коэффициент Пуассона.

Длинный толстостенный цилиндр

Если к торцам цилиндра приложена самоуравновешивающаяся нагрузка

, (8.22)

то на некотором расстоянии от торцов будет постоянной. Полагая , из (8.20) и (8.21) находим

.

Исключая из этих выражений , получим

. (8.23)

Используя (8.18) - (8.20), находим

. (8.24)

Сопоставляя выражения (8.23), (8.24) и (8.16), получим уравнение

. (8.25)

Практический интерес представляет случай, когда интенсивность массовых сил пропорциональна радиусу:

X = Kr, (8.26)

где К – коэффициент пропорциональности, предполагаемый известным по условию задачи; например, при вращении тела, имеющего плотность , с постоянной угловой скоростью n К =   n ².

После подстановки равенства (8.16) в (8.17) и интегрирования получим

. (8.27)

Сопоставляя (8.16) и (8.27), получим

,

или

. (8.28)

После интегрирования (8.28) находим выражение для определения радиальных напряжений :

. (8.29)

Подставляя уравнение (8.29) в (8.27), определяем окружные напряжения

, (8.30)

где постоянные С₁ и С₂ определяют с помощью граничных условий на боковых поверхностях цилиндра.

Осевое напряжение находят из граничных условий на торцах цилиндра. При этом используют выражение (8.21), если задано перемещение торцевого сечения: , или выражение (8.22), если торцевое сечение свободно от закрепления. Деформации и перемещения определяют при помощи выражений (8.18) - (8.21).

Диск постоянной толщины

При малой длине цилиндра (диск постоянной толщины) задача может быть решена в предположении равенства нулю осевых напряжений, т.е. при плоском

напряженном состоянии. Полагая и переменной, из (8.20) находим

. (8.31)

Сопоставляя (8.16), (8.24) и (8.29), получим

. (8.32)

Принимаем Х = Кr и интегрируем (8.32) почленно:

. (8.33)

Подставляя в (8.33) значение из (8.16), получим

,

или

. (8.34)

После интегрирования находим

. (8.35)

После подстановки (8.35) в (8.33) получим

, (8.36)

где постоянные С₁ и С₂ определяют из граничных условий на боковых поверхностях цилиндра (диска).

Заметим, что по (8.21), (8.35) и (8.36) деформация зависит от текущего радиуса r. Это означает, что поперечные сечения цилиндра не остаются плоскими, а приобретают форму параболоида вращения.

Тонкостенное кольцо

При малой длине и толщине стенки цилиндра (тонкостенное кольцо) задача может быть решена в предположении равенства нулю осевых и радиальных напряжений, т.е. при линейном напряженном состоянии. Полагая , из (8.16) и (8.17) получим

, (8.37)

где r = R – радиус срединной поверхности кольца.

После подстановки (8.26) в (8.37) находим выражение для определения

окружных напряжений, возникающих в тонкостенном кольце:

. (8.38)

Деформации и радиальные перемещения кольца определяют при помощи уравнений (8.18) - (8.21).

Стержень

Рассмотрим элемент (рис. 8.2) в виде параллелепипеда длиной dr . Полагая напряжения , после проектирования действующих сил на направление радиуса получим

. (8.39)

Имея в виду соотношение (8.26), после интегрирования (8.39) получим выражение для определения напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня:

, (8.40)

где постоянную С определяем из граничных условий на торцах стержня.

Деформацию и удлинение стержня " U " вычисляют при помощи уравнений (8.18) и (8.19):

, (8.41)

где l - длина стержня.

Примеры решения задач

Задача 1

К латунному "лепестку" контактора (рис. 8.3 а) в момент замыкания электри-ческой цепи мгновенно прикладывается сила Р. Определить размеры прямоугольного попе-речного сечения "лепестка", имея в виду, что для замыкания цепи его свободный конец переместится на расстояние . Решение провести без учета массы стержня и эффекта соударения его свободного конца с жестким контактом.

Дано: P = 3 H ; l = 40 мм ;  = 1 мм ;

Е = 0,9110 ⁵ МПа ; b = 3 h.

Согласно выражению (8.10) находим, что величина . Значение определим, записав известные уравнения задачи поперечного изгиба прямого стержня при статическом приложении силы Р в точке z = l (рис. 8.3 б):

Из граничных условий

Отсюда .

Тогда

Таким образом, . Из этого соотношения найдем значение момента инерции стержня I_x, а затем и размеры поперечного сечения стержня :

Задача 2

К

x

двутавровой балке длиной l (рис. 8.4 а) мгновенно прикладывается масса m, имеющая начальную скорость V₀. Определить максимальный прогиб балки и коэффициент запаса прочности. Решение провести без учета массы балки.

Дано: m = 30 кг ; l = 1,5 м ;

Е

z

= 210 ⁵ МПа ; _т = 180 МПа ;

сечение двутавр № 12; V₀ = 1,2 м/с.

Для определения максимального прогиба балки воспользуемся соотношением (8.5), которое с учетом (8.2) можно записать в виде

Значение определим, используя уравнения поперечного изгиба прямого стержня при статическом приложении в точке Z = l/2 силы P = mg (рис. 8.4 б) :

Для заданных условий закрепления стержня

Отсюда

Очевидно, что максимальный прогиб балка получит в точке :

Из таблицы сортамента для двутавра № 12 (прил.4) находим значение момента инерции сечения и определяем "статический" прогиб

Подставив значение в формулу , получим

мм.

Наибольшие напряжения, возникающие в балке, определим по формуле (8.9) :

, где из таблицы сортамента , коэффициент динамичности

.

Тогда .

Коэффициент запаса

Задача 3

Решить предыдущую задачу в предположении, что масса m падает на балку с высоты Н = 0,1 м (рис.8.5).

Максимальный прогиб балки в данном случае определим по формуле (8.8)

= 2,6  10^-5  8,87 = 2,3  10^-3 м = 2,3 мм.

Наибольшее нормальное напряжение

Коэффициент запаса

Задача 4

Груз массой m, опускавшийся на стальном тросе с постоянной скоростью V, остановлен внезапным торможением барабана лебедки (рис. 8.6 а) в тот момент, когда трос имел длину l. Определить нормальные напряжения в тросе и его удлинение. Весом троса пренебречь.

Дано: m = 600 кг ; l = 15 м ; V = 2 м/с ; E = 1,710 ⁵ МПа ;

площадь поперечного сечения троса F = 310 ^–4 м ².

Для определения наибольших напряжений в тросе воспользуемся формулой (8.9) : ,

где

= 19,62 МПа.

Динамический коэффициент К_g определим по (8.8), имея в виду, что :

,

где - перемещение троса в точке z = l при статическом приложении силы P = mg (рис. 8.6 б).

Значение найдем, использовав известные уравнения задачи о растяжении прямого стержня

Из граничных условий

После подстановки значений и К_g в выражение получим

Наибольшее удлинение троса определим по формуле (8.8)

В некоторых случаях для уменьшения напряжений в тросе между ним и грузом помещают пружины (рис. 8.6 в), которые оказывают большое влияние на снижение при ударе.

Решим рассмотренную задачу в предположении, что цилиндрическая винтовая пружина, размещенная между грузом и тросом, имеет n = 10 витков при среднем диаметре витка D = 50 мм и диаметре стержня пружины d = 15 мм; модуль сдвига материала пружины G = 810⁴ МПа.

В данном случае значение , входящее в коэффициент динамичности, будет складываться из удлинений троса и пружины: . Величина м была определена выше. Удлинение винтовой цилиндри-ческой пружины найдем по известной формуле [1]:

м = 145 мм.

Таким образом,

м = 146,77 мм,

а коэффициент динамичности

Наибольшее напряжение и удлинение в тросе будут равны:

З адача 5

На биметаллический ступенчатый стержень круглого поперечного сечения с высоты H падает груз массой m. Предполагая, что стержень не теряет устойчивость, найти наибольшее сжимающее напряжение, а также определить, с какой максимальной высоты должен упасть груз mg, чтобы в стержне не возникли пластические деформации. Задачу решить без учета и с учетом массы стержня ( ).

Дано: m = 5,1 кг ; H = 0,1 м ; l₁ = 0,5 м ; l₂ = 1 м ;

d₁ = 0,1 м ; d₂ = 0,02 м ; ₁ = 2,710 ³ кг/м ³ ;

₂ = 7,8510 ³ кг/м ³ ; Е₁ = 0,710 ⁵ МПа ; Е₂ = 210 ⁵ МПа.

Наибольшее напряжение в стержне определим по формуле (8.9) : .

Максимальные статические напряжения возникают в сечениях верхней части второго стержня

Коэффициент динамичности

Статические перемещения стержней в точках z=l₁, z=l₁+l₂ без учета собственного веса стержня определим из системы уравнений, описывающих сжатие ступенчатого стержня статически приложенной силой mg (рис. 8.7 б)

,

.

Из граничных условий

Подставляя значение в выражение К_g, получим

В данном случае не выполняется условие и при расчете ударяемой системы без учета массы стержня следует ожидать большой погрешности результатов.

Наибольшие динамические напряжения в стержне

При определении максимальной высоты Н_max, с которой должен упасть груз mg, чтобы в стержне возникли пластические деформации, представим выражение (8.8) в виде , так как и . Тогда можно записать условие , из которого определим максимальную высоту

Для проведения расчета с учетом собственной массы стержня необходимо воспользоваться выражением (8.14) и определить коэффициент приведения массы стержня к точке удара по формуле (8.15) :

После подстановки численных данных получим  = 0,223.

Имея в виду, что масса стержня

а масса груза 5,1 кг, определим значение коэффициента динамичности, пренебрегая деформацией стержня от действия собственного веса:

Наибольшие динамические напряжения с учетом массы стержня

Максимальную высоту Н_max определим из выражения (8.4), пренебрегая единицами перед и под радикалом:

Сравнение расчетных данных показывает, что в рассмотренном случае учет массы стержня оказывает существенное влияние на определение динамических напряжений.

Задача 6

Шток парового молота 1, жестко связанный с верхней половиной штампа 2, движется со скоростью V и на конечных этапах ковки, при смыкании зеркала штампа, испытывает удар о его нижнюю половину 3 (рис. 8.8). Длина штока l₁, высота верхней и нижней половин штампа соответственно l₂ и l₃ ; площади поперечных сечений штока и штампа равны между собой.

Дано: l₁ = 1 м ; l₂ = 0,15 м ; l₃ = 0,2 м ;

плотность материала штока, верхней и нижней половины штампа ₁ = ₂ = ₃ = 7,710 ³ кг/м ³; модуль упругости материала штока, верхней и нижней половин штампа Е₁ = Е₂ = Е₃ = 210 ⁵ МПа;

V = 10 м/с.

При расчете будем полагать, что кинетическая энергия штока и верхней половины штампа W_К целиком переходит в их потенциальную энергию деформации W_П1,2 и потенциальную энергию деформации нижней половины штампа W_{П 3} :

.

Кинетическая энергия

.

Потенциальная энергия упругой деформации при растяжении-сжатии прямого стержня определяется как .

П о условию задачи относительное удлинение штока и верхней половины штампа изменяется по линейному закону. Тогда по закону Гука напряжение также будет

изменяться по линейному закону, и можно записать и . А потенциальную энергию деформации штока и верхней половины штампа определим как сумму интегралов:

Принимая во всех поперечных сечениях нижней половины штампа напряжения = , получим

Тогда

Из последнего соотношения определим значение динамических напряжений, возникающих в штоке молота:

Задача 7

Маховик диаметром D и толщиной t, насаженный на вал длиной l, диаметром d, вращается с постоянным числом оборотов n (рис.8.9). Из расчета на жесткость и прочность определить диаметр вала d, если в аварийной ситуации возможна остановка правого конца вала. В расчете массой вала пренебречь.

Дано: D = 1,2 м ; t = 0,25 м ;

_м = 7,710 ³ кг/м ³; l = 2,4 м ;

n = 60 об/мин ; G = 810 ⁴ МПа ;

[] = 400 МПа ; [] = 0,1 рад.

Предположим, что при скручивающем ударе кинетическая энергия маховика равна потенциальной энергии упругой деформации вала:

W_K = W_П.

Кинетическая энергия маховика определяется по формуле

где момент инерции массы маховика

а угловая скорость

.

Потенциальная энергия деформации при кручении прямого стержня , где угол закручивания ; .

Тогда

.

Отсюда получаем выражение для определения динамического крутящего момента

Наибольшие динамические касательные напряжения в вале найдем по формуле , где полярный момент сопротивления сечения . Тогда

.

Из расчета на прочность находим

Динамический угол закручивания вала

Из расчета на жесткость определим

Задача 8

Вал торсионной подвески гусеничной машины (рис. 8.10 а) при наезде на препятствие испытывает внезапное приложение в точке А сосредоточенной массы m. Определить наибольшие напряжения в вале, а также перемещения точки А. Массой ударяемой системы пренебречь и элемент АВ считать абсолютно жестким.

Дано: m = 1,510 ³ кг; l₁ = 0,3 м ; l₂ = 0,1 м ; l₃ = 0,2 м ; d₁ = 0,08 м ; d₂ = 0,06 м ; Е = 2,110 ⁵ МПа ; G = 810 ⁴ МПа.

Максимальные напряжения в вале и перемещения точки А будем определять при помощи соотношений (8.10).

Напряжения, возникающие в вале при статическом приложении силы P = mg в точке А, найдем, имея в виду, что вал ВСD испытывает изгиб силой Р и кручение моментом Pl₃ (рис. 8.10 б). Схемы нагружения вала приведены на рис. 8.10в и 8.10г.

Поведение ступенчатого стержня при поперечном изгибе описывается системой уравнений

Из граничных условий

Для расчетной схемы (рис. 8.10 г) можно записать

Из граничных условий определяем

Из графиков и (рис. 8.10 в, г) видно, что наибольшие напряжения могут возникнуть в сечении D либо С, так как. здесь диаметр вала меньше. Определим эквивалентные статические напряжения в этих сечениях, используя гипотезу наибольших касательных напряжений:

В сечении D

В сечении С

Итак, максимальные напряжения возникают в сечении С.

Наибольшие напряжения в вале

Полученный результат имеет смысл только в том случае, если значение не превышает допускаемого напряжения.

Определим статическое вертикальное перемещение точки А. Оно будет складываться из перемещения , обусловленного изгибом вала ВСД, и перемещения , обусловленного закручиванием этого же вала

(рис. 8.10 б).

Перемещение

Перемещение

Статическое вертикальное перемещение точки А

Динамическое перемещение этой точки

Задача 9

Стержень кольцевого поперечного сечения длиной l, несущий на конце массу m (рис. 8.11), равномерно вращается с числом оборотов n вокруг вертикальной оси 0 - 0. Определить удлинение стержня и размеры его поперечного сечения.

Дано: D : d = 2; m = 20 кг; l = 0,3 м ;

f = 0,04 м ; n = 1200 об/мин ;

 = 7,710 ³ кг/м ³; Е = 210 ⁵ МПа ;

[] = 180 МПа.

Решение задачи проведем без учета статических напряжений и деформаций, ввиду их малости.

Сила инерции, возникающая вследствие вращения массы m, определяется по известной формуле: . В данном случае . Угловая скорость . Тогда получим

Для нахождения напряжений, возникающих в стержне, воспользуемся соотношением (8.40), где . Постоянную С определим из граничного условия .

Тогда

и нормальные напряжения в стержне будут определяться как

.

Наибольшие растягивающие напряжения в стержне, очевидно, будут у оси вращения (т.е. при r=0), и условие прочности можно записать в виде

Отсюда

Задача 10

Тонкостенное кольцо, имеющее радиус срединной поверхности R, вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей n , вокруг оси, перпендикулярной его плоскости. Определить напряжения, возникающие в кольце, и увеличение его диаметра.

Дано: R = 0,25 м ; n = 1500 об/мин ;  = 2,710 ³ кг/м ³; Е = 0,710 ⁵ МПа.

Напряжения, возникающие в кольце от действия сил инерции, определим по формуле (8.38) при :

Заметим, что напряжение не зависит от размеров поперечного сечения кольца.

Увеличение диаметра кольца определим c помощью соотношений (8.18) и (8.20) при

Задача 11

Корпус центрифуги, представляющий собой цилиндрическую оболочку с полусферическим днищем, вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью (рис. 8.12 а). Плотность материала оболочки , радиус R, толщина стенки h. Определить напряжения, возникающие в оболочке. Решение провести без учета напряжений изгиба.

Дано:  = 720 с ^-1; R = 0,2 м ;  = 2,710 ³ кг/м ³.

В рассматриваемом случае силы инерции перпендикулярны оси вращения оболочки, поэтому осевые напряжения в любом сечении оболочки равны нулю. Окружные напряжения в цилиндре определяются как (8.37):

.

График изменения приведен на рис. 8.12 б. Примечательно, что напряжения, возникающие в оболочке, не зависят от ее толщины и изменений толщины вдоль меридиана.

Задача 12

Вал турбины, представляющий собой сплошной цилиндр со свободно перемещающимися торцами, на холостом ходу вращается с постоянной угловой скоростью, соответствующей n. Длина вала l, диаметр D = 2a. Вычислить изменение диаметра и длины вала, а также коэффициент запаса его прочности. Построить графики изменения напряжений вдоль радиуса.

Дано: D = 0,8 м ; l = 4 м ; n = 3600 об/мин ;  = 0,3;  = 7,710 ³ кг/м ³;

Е = 210 ⁵ МПа ; .

Радиальные и окружные напряжения, возникающие в вале от действия сил инерции, определим при помощи уравнений (8.35), (8.36):

г де

Из условия непрерывности напряжений при r = 0 в сплошном цилиндре необходимо принять С₂ = 0. Так как на боковой поверхности цилиндра внешняя нагрузка отсутствует, то .

Используя это граничное условие, получаем Теперь выражения для определения и можно записать в виде

Поскольку торцевые сечения цилиндра свободны, то и должно удовлетворяться условие (8.22):

Подставляя последнее соотношение, а также выражения и в (8.21), получим

Очевидно, что напряжения достигают наибольших значений на оси цилиндра при r = 0 :

Эквивалентное напряжение определим по теории начала текучести Мора:

При

Коэффициент запаса прочности .

Графики радиальных, окружных и осевых напряжений приведены на рис. 8.13.

Увеличение диаметра вала найдем при помощи соотношений (8.18) и (8.20)

Отсюда получаем

Наибольшее изменение (уменьшение) длины вала найдем из соотношения :

Задача 13

На стальной диск постоянной толщины напрессован латунный обод (тонкостенное кольцо) с натягом 2. Определить при каком числе оборотов давление от натяга будет равно нулю.

Дано: а = 0,3 м ; t = 0,02 м ; _с = 7,710 ³ кг/м ³ ;

_л = 8,410 ³ кг/м ³; Е_с = 210 ⁵ МПа ;

Е_л = 210 ⁵ МПа ; _с = 0,3;  = 0,410 ^-3 м.

Изменение натяга будет равно разности перемещений обода U_К и диска U_g (при r = a) от действия сил инерции :

Определим эти перемещения отдельно для каждого элемента. Используем решение, приведенное в задаче 10:

Для определения U_g необходимо вычислить напряжения, возникающие в диске. Воспользуемся формулами (8.35) и (8.36).

Из условия непрерывности напряжений при r = 0 необходимо принять С₂ = 0. Полагая, что наружная поверхность диска свободна от нагрузки, находим

Тогда

Используя (8.18) и (8.20), получим

Отсюда при

При *= давление от натяга будет равно нулю, так как натяг будет полностью скомпенсирован за счет перемещений от сил инерции.

Задача 14.

Диск постоянной толщины напрессован на вал с натягом 2, (рис. 8.15). Определить остаточный натяг при числе оборотов вала n.

Дано: а = 0,4 м ; b = 0,1 м ; Е_g = E_в = 210 ⁵ МПа ;

_g = _в = 7,710 ³ кг/м ³; _g = _в = 0,3; n = 3600 об/мин ;

 = 0,310 ^-3 м.

Изменение натяга * при вращении вала определяется как разность радиальных перемещений диска U_g и вала U_в при r = С . Определим перемещение U_g. Диск имеет центральное отверстие, поэтому граничные условия для определения С₁ и С₂, входящих в уравнения (8.35) и (8.36), будут иметь вид

Отсюда находим

Тогда выражения (8.35) и (8.36) можно представить как:

При r = b окружные напряжения в диске равны

Перемещение (U)_b найдем при помощи соотношений (8.18) и (8.20)

Для определения перемещения U_b необходимо найти напряжения, возникающие в вале. Из задачи 12 напряжения

В рассматриваемой задаче торцевые сечения вала перемещаться не могут. Полагая , из уравнения (8.21) получим

Из (8.18) и (8.20)

Таким образом, изменение натяга

Остаточный натяг