2.Множество Эджворта – Парето.

Допустим, имеются две альтернативы: А и В. Назовем альтернативу А доминирующей по отношению к альтернативе В, если по всем критериям оценки альтернатива А не хуже, чем альтернатива В, а хотя бы по одному критерию оценка А лучше.

При этом альтернатива В называется доминируемой.

Пример. При покупке телевизора с учетом 2-х критериев: стоимость и функциональность имеются 3 варианта телевизоров (альтернативы), которые представлены в следующей таблице:

Альтернатива	Критерий
	Стоимость	Функциональность
1. Телевизор 1	небольшая	малая
2. Телевизор 2	высокая	высокая
3. Телевизор 3	небольшая	высокая

Изобразим альтернативы графически

Функциональность

2 3

Высокая

1

Малая

Стоимость

Высокая Небольшая

Из рисунка видно, что альтернатива 3 лучше альтернатив 1 и 2, потому что она не хуже по критериальным оценкам каждой из двух альтернатив, а по одному из критериев явно лучше.

Предположим, что телевизоры 3-го вида закончились. Тогда телевизоры 1 и 2 вида не находятся в отношении доминирования. По одному из критериев лучше альтернатива 2, по другому – альтернатива 1.

Пусть задана группа альтернатив. Сравним все альтернативы попарно и исключим те из них, которые доминируются хотя бы одной из оставшихся альтернатив. Тогда оставшиеся (недоминируемые) альтернативы принадлежат множеству Эджворта – Парето (Э-П).

Альтернативы, принадлежащие множеству Э-П невозможно сравнить непосредственно на основе критериальных оценок, т.е. про две альтернативы из этого множества нельзя сказать, которая лучше, а которая хуже. Но если решение должно быть принято, то сравнение альтернатив, принадлежащих множеству Э-П, возможно на основе дополнительной информации. Так, в нашем примере покупатель должен решить, что для него важнее: экономия денег или обилие многофункциональности телевизора.

Нетрудно убедиться, что множество Э-П включает в себя наиболее «контрастные» альтернативы, сложные для сравнения. Если стоит задача выбора одной лучшей альтернативы, то она обязательно принадлежит множеству Э-П. Поэтому во многих методах ПР очень важен этап выделения множества Э-П из всего множества заданных альтернатив.

Один из возможных способов решения этой задачи состоит в попарных сравнениях альтернатив и исключении доминируемых.

Задача выделения множества Э-П обычно рассматривается как предварительная. За ней следует наиболее существенный этап принятия решений.

3. Типовые задачи принятия решений.

Задачи ПР отличаются большим многообразием, классифицировать их можно по различным признакам, характеризующим количество и качество доступной информации для ПР. В общем случае ЗПР можно представить следующим набором информации:

,

где T- постановка задачи (например, выбрать лучшую альтернативу или упорядочить весь набор);

A- множество допустимых альтернатив;

K- множество критериев;

X- множество методов измерения предпочтений (например, использование различных шкал);

F-отображение множества допустимых альтернатив в множество критериальных оценок (исходы);

G- система предпочтений эксперта;

D- решающее правило, отражающее систему предпочтений.

Любой из элементов этого набора может служить классификационным признаком ПР. Рассмотрим традиционные классификации:

1. По виду отображения F. Отображение множества A в K может иметь детерминированный характер, вероятностный или неопределенный вид, в соответствии с которым ЗПР можно разделить на задачи в условиях определенности, на задачи в условиях риска и на задачи в условиях неопределенности.

2. Мощность множества K. Множество критериев выбора может содержать один элемент или несколько. В соответствии с этим ЗПР можно разделить на задачи со скалярным критериев и задачи с векторным критерием ( многокритериальные задачи ПР).

3. Тип системы G. Предпочтения могут формироваться одним лицом или коллективом, в зависимости от этого ЗПР можно классифицировать на задачи индивидуального ПР и задачи коллективного ПР.

Задачи принятия решений в условиях определенности. К этому классу относятся задачи, для решения которых имеется достаточная и достоверная количественная информация. В этом случае с успехом применяются методы математического программирования, суть которых состоит в нахождении оптимальных решений на базе математической модели реального объекта. Основные условия применимости методов математического программирования следующие:

1. Задача должна быть хорошо формализована, т. е. имеется адекватная математическая модель реального объекта.

2. Существует некоторая единственная целевая функция (критерий оптимизации), позволяющая судить о качестве рассматриваемых альтернативных вариантов.

3. Имеется возможность количественной оценки значений целевой функции.

4. Задача имеет определенные степени свободы (ресурсы оптимизации), т. е. некоторые параметры функционирования системы, которые можно произвольно изменять в некоторых пределах в целях улучшения значений целевой функции.

Задачи принятия решений в условиях риска. В тех условиях, когда возможные исходы можно описать с помощью некоторого вероятностного распределения, получаем ЗПР в условиях риска. Для построения распределения вероятностей необходимо либо иметь в распоряжении статистические данные, либо привлекать знания экспертов. Для решения задач этого типа применяются методы теории одномерной или многомерной полезности.

Задачи принятия решений в условиях неопределенности. Эти задачи имеют место тогда, когда информация необходимая для принятия решений является неточной, неполной, неколичественной, а формальные модели исследуемой системы либо слишком сложны, либо отсутствуют. В таких случаях привлекаются знания экспертов.

Следует отметить, что одним из условий существования ЗПР является наличие нескольких допустимых альтернатив, из которых следует выбрать в некотором смысле лучшую. При наличии лишь одной альтернативы, удовлетворяющей фиксированным условиям или ограничениям, ЗПР не имеет места.

ЗПР называется тривиальной, если она характеризуется исключительно одним критерием K и всем альтернативам присвоены конкретные числовые оценки в соответствии со значениями указанного критерия.

ЗПР перестает быть тривиальной даже при одном критерии, если каждой альтернативе соответствует не точная оценка, а интервал возможных оценок или распределение критериальных оценок альтернатив.

Нетривиальной считается задача при наличии нескольких критериев ПР.

Из всех вышеопределенных основных этапов ППР наибольшее внимание уделяется последнему этапу. Способы прохождения этапов ППР зависят не только от содержания задачи ПР, но и от опыта, привычек, личного стиля ЛПР и его окружения. Хотя эти же факторы присутствуют при сравнении альтернатив, здесь их роль заметно меньше.

Научный анализ проблем ПР начинается с момента, когда хотя бы часть альтернатив и (или) критериев известна.

Центральное место среди задач ПР занимают многокритериальные задачи выбора. Очевидно, что учет многих критериев приближает постановку задачи к реальной жизни. Обычно различают три основные ЗПР:

1. Упорядочение альтернатив.

Для ряда задач вполне естественно требование определения порядка на множестве альтернатив, т.е. определение относительной ценности каждой из альтернатив.

2. Распределение альтернатив по классам решений.

При большом числе альтернатив для облегчения выбора наилучшей альтернативы обычно их распределяют по классам. Например, различают группы товаров по качеству, группы книг по направлениям, группы (классы) автомобилей и т.д.

3. Выделение лучшей альтернативы.

Эта задача традиционно считается одной из основных в ПР. Она часто встречается на практике. Выбор товара при покупке, выбор вуза при поступлении, выбор места работы, выбор проекта дома и т.д.

Кроме того, такие задачи распространены в мире политических решений, где альтернатив сравнительно немного, но они достаточно сложны для изучения и сравнения.