6. Методы многокритериального выбора на основе дополнительной информации

Решением многокритериальной задачи, сформулированной выше, является соответствующее множество Парето- множество недоминируемых по Парето альтернатив. Это множество может оказаться достаточно обширным, а пользователя обычно интересует выбор какого-то «наилучшего» варианта или небольшого их числа. Если какая-либо дополнительная информация о задаче отсутствует, то множество Парето – это лучшее, что можно предложить. Однако при наличии дополнительной информации о системе предпочтений пользователя могут быть применены различные методы сужения исходного множества альтернатив – более сильные, чем методы, основанные на доминировании по Парето. Весьма часто исходной информацией для таких методов выступает само множество Парето и ставится задача его сужения с целью выбора одной или нескольких альтернатив в качестве окончательного результата.

Метод t – упорядочения. Пусть решается многокритериальная задача (1). Будем предполагать, что все критериальные функции отражают «полезность» объекта с позиций различных критериев и являются соизмеримыми в том смысле, что значения каждой критериальной функции изменяются в одних и тех же пределах [a, b]:

(4)

Таким образом, мы предполагаем, что оценочные шкалы критериев являются числовыми и одинаковыми.

Требование, связанное с необходимостью приведения всех числовых шкал к единому промежутку достигается с помощью, например, следующих простых преобразований:

(5)

Здесь - максимальные и минимальные значения соответственно. Новые оценочные функции будут изменяться уже в пределах заданного промежутка [a, b]. Обычно полагают .

Итак, пусть критериальные функции соизмеримы и удовлетворяют условиям (4).

Определение. Нормированные критерии и называются равноценными ( = ), если всякие две векторные оценки Z, W, где

одинаковы по предпочтительности при любом ( ), удовлетворяющем неравенствам:

.

Таким образом, если, например, два школьника оцениваются по четырем предметам и имеют оценки (которые необходимо максимизировать)

то при условии равноценности критериев , приведенные векторные оценки будут одинаковыми по предпочтительности, т.к. 4+4=5+3, а остальные оценки совпадают.

Следовательно, если критерии и равноценны, то можно «забрать» единиц у частной оценки и «передать» их частной оценке . При этом получим векторную оценку, одинаковую с исходной по предпочтительности.

Если в приведенном выше примере считать, что оценка Z предпочтительнее, чем W, то естественно предположить, что критерий важнее критерия .

Определение. Критерий более важен, чем критерий (что записывается в виде > ), если векторная оценка

менее предпочтительна, чем оценка

,

где и .

Таким образом, перенос единиц ( ) с частной оценки на частную оценку приводит к улучшению ситуации, если > .

На основе выше приведенной операции переноса единиц с одной частной оценки на другую частную оценку происходит сокращение множества Парето решаемой многокритериальной задачи.

Рассмотрим пример.

Пусть

и пусть утверждается, что критерий важнее, чем : > . Эти векторные оценки, очевидно, несравнимы по Парето. Рассмотрим оценку

полученную из W с помощью переноса 0,4 единиц со второй позиции в первую. Согласно определению имеем

.

И, поскольку имеем

,

То естественно считать

, а значит .

Методы упорядочения альтернатив, основанные на рассмотренной процедуре переноса (transfer) c учетом ординальной (порядковой) информации пользователя, называются методами t- упорядочения.

Частным случаем изложенного метода t- упорядочения является метод, предложенный В.В. Подиновским (метод П - упорядочения). Он основан на том, что мы имеем возможность переставлять численные значения оценок между равноценными и неравноценными критериями. Например, пусть дана векторная оценка и известно, что > . Тогда по Подиковскому оценка , полученная из Z перестановкой чисел 5 и 10, будет признана лучшей, чем Z, т. к. на место более «важного» критерия пришло большее значение (10 вместо 5). Если бы критерии и были равноценными, то оценки и считались бы эквивалентными.

Недостатком метода П – упорядочения является его недостаточная «мощность». Например, пусть даны векторные оценки

при наличии ординальной информации > . Эти оценки, очевидно, несравнимы по Парето. Несравнимы они и по методу П – упорядочения (никакие перестановки численных значений оценок между и не приводят к их сравнимости по Парето). В то же время легко видеть, что согласно методу t- упорядочения для полученной из W с помощью переноса одной единицы со второй позиции в первую, мы имеем

и, следовательно, .