Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида

(3.14)

где и , называется уравнением Бернулли Это уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью под­становки .Так как в этом случае то уравнение (3.14) целесообразно предварительно разделить на

и после замены переменной получим линейное уравнение относительно новой искомой функции z :

Пример 3.5. Найти все решения уравнения

Решение. Прежде всего убедимся в том, что заданное уравне­ние является уравнением Бернулли, преобразовав его к стандартному виду (3.14).

Затем поделим обе части этого уравнения на

и сделаем подстановку , учитывая при этом, что

или

(3.15)

Применяя метод Лагранжа интегрирования полученного линейно­го неоднородного уравнения относительно новой искомой функции z , запишем соответствующее ему однородное уравнение

и найдем его общее решение:

Следовательно, решение неоднородного уравнения (3.15) будем искать в виде подставляя которое в это уравнение, получим

откуда

Тогда решение линейного дифференциального уравнения относительно переменной z будет иметь вид

z = (х + l)(ln|x +1|+С) , и, наконец, после возвращения к первоначальной переменной у получим решение исходного уравнения: .

Нетрудно проверить, что отброшенное ранее выражение у=0 является дополнительным частным решением заданного дифференци­ального уравнения.

Таким образом, все решения исходного дифференциального урав­нения описываются совокупностью функций и у=0.

Задание 3.4. Проинтегрировать дифференциальные уравнения: а) б)

в)

Ответы: а) б)

в)

3.5 Уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение вида

(3.16)

где а(х), b(х) и с(х) - функции, определенные на некотором проме­жутке изменения переменной х, называется уравнением Риккати.

В общем случае уравнение Риккати в квадратурах не

интег­рируется, однако, если известно какое-либо одно частное решение этого уравнения, то с помощью подстановки

оно сводится к уравнению Бернулли относительно новой искомой функции z = z(x). Иногда частное решение уравнения Риккати удается подобрать, исходя из вида свободного члена с(х).

Пример 3.6. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение. Нетрудно проверить, что у = х является частным решением заданного уравнения Риккати. Тогда в этом уравнении пе­рейдем к новой переменной z по формуле у = х + z

и после несложных преобразований получим уравнение Бернулли:

(3.17)

Далее с помощью подстановки перейдем к линейному неоднородному уравнению

(3.18)

и, интегрируя соответствующее однородное уравнение ,найдем его общее решение:

Тогда решение неоднородного уравнения (3.18) будем искать в виде ,подставляя которое в это уранение, получим

откуда Следовательно, решение линейного уравнения (3.18) будет иметь вид решением уравнения Бернулли (3.17) является или

а, возвращаясь к переменной у, получим, наконец, решение исходного уравнения

или

Подобранное ранее частное решение у =х является дополнитель­ным решением исходного дифференциального уравнения, и, следова­тельно, все решения этого уравнения описываются множеством функций и

Задание 3.5. Подобрать частное решение и проинтегрировать уравнение Риккати

Ответ: