3.2. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом Бернулли

По методу Бернулли решение линейного неоднородного диффе­ренциального уравнения первого порядка (3.1) отыскивается в виде произведения

(3.8)

двух функций, из которых одну, например, и = и(х) следует считать новой искомой функцией, а тогда другую функцию v = v(x) - вспомо­гательной, выбираемой по своему усмотрению.

После подстановки (3.8) в уравнение (3.1) с учетом того, что

исходное уравнение примет вид

или

(3.9)

При реализации метода Бернулли вспомогательная функция v(x) выбирается таким образом, чтобы выражение, содержащееся в квадрат­ных скобках в (3.9), обращалось в нуль, то есть

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, в результате интегрирования которого и находится вспомогательная функция v = v(х), причем достаточно отыскать толь­ко частное решение этого уравнения при С = 0.

После подстановки найденного выражения функции v(x) в (3.9), это уравнение также становится уравнением с разделяющимися пере­менными

что позволяет его проинтегрировать и найти выражение новой иско­мой функции и(х), а затем по формуле (3.8) записать и общее реше­ние исходного уравнения (3.1).

Пример 3.3. Проинтегрировать линейное дифференциальное урав­нение

Решение. Сначала приведем заданное уравнение к стандартно­му виду (3.1)

и, применив для его интегрирования метод Бернулли, сделаем подстановку

или

(3.10)

Теперь приравняем к нулю выражение стоящее в скобках

(3.11)

и найдем частное решение полученного уравнения:

Подставив далее найденное выражение функции v(x) в (3.10) с учетом (3.11) будем иметь:

откуда

Тогда общее решение исходного уравнения будет иметь вид

Задание 3.2. Применить метод Бернулли к решению дифференци­ального уравнения .

Ответ:

3.3. Уравнения, линейные относительно независимой переменной

В ряде случаев дифференциальное уравнение, не являющееся ли­нейным относительно традиционно искомой функции

у = y(x),может оказаться линейным относительно переменной х, если после некоторых преобразований его можно привести к виду

где р(у) и q(y) - функции переменной у.

Очевидно, что при интегрировании этого уравнения по методу Лагранжа варьируемая постоянная С(у) должна уже быть функцией переменной у, а при применении метода Бернулли решение данного уравнения следует искать в виде произведения двух функций, завися­щих также от переменной у, то есть в виде

Пример 3.4. Найти решения дифференциального уравнения

(3.12)

Решение. Данное уравнение не относится ни к одному из рас­смотренных ранее типов, в том числе и не является линейным отно­сительно переменной у. Однако, если обе его части поделить на то получим линейное уравнение относительно переменной х:

или

(3.13)

Применяя для интегрирования последнего уравнения метод ва­риации произвольной постоянной, запишем соответствующее ему одно­родное уравнение

и найдем его общее решение:

Решение линейного неоднородного уравнения (3.13) будем искать в виде и для определения выражения варьируемой постоянной С(у) подставим этот вид решения в само уравнение (3.13):

или

откуда

Тогда решение уравнения (3 13) и, соответственно, исходного

Уравнения(3.12)получим в виде или

При преобразовании исходного уравнения (3.12) к линейному (3.13) относительно переменной х предполагалось, что .Следовательно, решениями исходного уравнения могут быть также функции у, удовлетворяющие равенству , то есть постоянные функции .Из (3.12) следует, что такими дополнительными решениями явля­ются у = 0 и у - 1. Таким образом, все решения исходного диффе­ренциального уравнения (3.12) описываются совокупностью функций

и у=1.

Задание 3.3. Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

а) б)

Ответы: а) б)