2.5. Применение подстановки

В некоторых случаях дифференциальное уравнение первого по­рядка при соответствующем подборе степени m может быть сведено к однородному уравнению с помощью подстановки

Пример 2.5. Проинтегрировать уравнение

Решение. С целью простоты подбора степени m преобразуем исходное уравнение к уравнению в дифференциальной форме

или

(2.13)

и перейдем в нем к новой переменной z с помощью подстановки , учитывая при этом, что :

(2.14)

Уравнение в дифференциальной форме (2.14) будет однородным уравнением лишь в том случае, когда функции и

будут однородными функциями одинакового из­мерения, а это, в свою очередь, будет иметь место, когда степени выражении и будут одинаковыми. Исходя из сказанного, приравняем степени этих выражений: Очевидно, ЧТО данному двойному равенству будет удовлетворять только одно значение m = 2, и, следовательно, уравнение (2.13) с помощью под­становки сводится к однородному уравнению

. (2.15)

Для дальнейшего сведения уравнения (2.15) к уравнению с разде­ляющимися переменными сделаем подстановку z = tх, учитывая при

этом, что :

или

Последнее уравнение распадается на уравнение , при этом х = 0 не является решением исходного дифференциального уравнения, и на уравнение с

разделяющимися переменными

, (2.16)

после разделения переменных в котором и интегрирования

получим решение уравнения (2.16) в виде совокупности интегралов:

или

. (2.17)

При этом помимо совокупности решений (2.17) промежуточное урав­нение с разделяющимися переменными (2.16) имеет дополнительные решения t = ±1.

После возвращения к промежуточной переменной z по формуле получим, что решение однородного уравнения (2.15) описывается совокупностью функций и , или и а после замены найдем совокупность решений исходного дифференциального уравнения: .

Задание 2.5. Найти все решения дифференциального уравнения

Ответ:

Упражнения к разделу 2

Проинтегрировать дифференциальные уравнения: 1) (х - y)d x + (х + y)d y = 0; 2)

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Ответы: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)

6) ; 7) .8) .

3. Линеиые дифференциальные уравнения. Уравнения бернулли и риккати

3.1. Метод вариации произвольной постоянной интегрирования линейного неоднородного дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линей­ным, если оно линейно относительно искомой функции у = у(х) и ее

производной у':

у' + р(х)у = q(x), (3.1)

где р(х) и q(x) - функции, определенные на некотором промежутке изменения переменной х .

Если на рассматриваемом промежутке q(x) = 0, то уравнение

у' + р(х)у = 0 (3.2)

называется линейным однородным уравнением, в проливном случае уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением. Не­трудно заметить, что линейное однородное уравнении является уравне­нием с разделяющимися переменными

На практике применяются два равноценных метода интегрирова­ния линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка: метод Лагранжа, или метод вариации произвольной постоян­ной, и метод Бернулли, или метод подстановки.

По методу Лагранжа сначала находится общее решение у = v(х,С) так называемого соответствующего однородного уравне­ния (3.2), которое получается из (3.1), полагая в нем . Затем

общее решение неоднородного уравнения (3.1) отыскивается в том же виде, что и решение приведенного однородного уравнения, заменяя при этом произвольную постоянную С на неизвестную функцию С(х), то есть в виде

(3.3)

Поскольку (3.3) должно быть решением уравнения (3.1), то после под­становки (3.3) в (3.1) получается дифференциальное уравнение с разде­ляющимися переменными относительно искомой функции С(х).

Пример 3.1. Решить уравнение .

Решение. Сначала перепишем заданное линейное дифференци­альное уравнение в стандартном (приведенном) виде (3.1):

(3.4)

Далее запишем соответствующее линейное однородное уравнение

и, разделяя переменные и интегрируя

найдем общее решение этого уравнения:

Затем общее решение линейного неоднородного дифференциаль­ного уравнения (3.4) будем искать в виде

(3.5)

а для определения неизвестной функции С(х) подставим вид искомого решения (3.5) уравнения (3.4) в само это уравнение:

откуда , где С - произвольная постоян­ная. Подставив теперь найденное выражение функции С(х) в (3.5), за­пишем общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 3.2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение. Прежде всего заданное в дифференциальной форме уравнение перепишем в виде приведенного линейного неоднородного дифференциального уравнения

. (3.6)

Далее, применяя метод Лагранжа для интегрирования этого урав­нения, составим соответствующее линейное однородное уравнение

и найдем его общее решение:

Общее решение неоднородного уравнения (3.6) будем искать в виде

(3.7)

подставив которое в это уравнение, получим дифференциальное уравнение относительно функции С(х):

откуда

Подставив, наконец, в (3.7), найдем

общее решение исходного уравнения:

Задание 3.1. Применяя метод вариации произвольной постоянной, найти решения дифференциальных уравнений:

а) б)

ответы: а) б)