2.3. Однородные уравнения в дифференциальной форме

Используя свойства однородных функций, нетрудно убедиться в том, что уравнение в дифференциальной форме (1.2) является одно­родным, если функции М(х , у) и N(х , у) являются однородными функ­циями одинакового измерения. Для интегрирования такого уравнения его можно сначала свести к однородному уравнению, разрешенному относительно производной, после чего применить подстановку у = их, либо сразу свести к уравнению с разделяющимися перемен­ными, используя ту же подстановку учитывая при этом, что dy - udx + xdu .

В некоторых случаях при интегрировании однородных уравнений в дифференциальной форме целесообразно сделать замену переменной , при этом d x = ud у + yd и , а дополнительным решением в этом случае может оказаться выражение у = 0.

Пример 2.3.Найти все решения дифференциального уравнения

(х + 2y)dx – xdy=0.

Решение. Заданное уравнение, записанное в дифференциальной форме (1.2), является однородным, так как функции М(х , у)=х + 2у и N(x , y) = x являются однородными функциями первого измерения, то есть одного и того же измерения

Сделаем в этом уравнении подстановку , учитывая при

этом, что d y = ud x + xd u .

.

Последнее уравнение распадается на уравнение х = 0, при этом х=0 является частным решением исходного дифференциального урав­нения, и на уравнение с разделяющимися переменными относительно новой искомой функции и:

(2.3)

Разделяя в последнем уравнении переменные и интегрируя, най­дем его решение:

,

или x = C(1 + u). Возвращаясь к первоначальной переменной, учитывая,

что , запишем решение исходного уравнения: , или

(2.4)

при этом найденное ранее дополнительное решение х = 0 входит в (2.4) при С = 0.

Уравнение с разделяющимися переменными (2.3) относительно новой искомой функции и имеет дополнительное решение и = -1, то­гда согласно сделанной замене переменной решение у = -х является дополнительным для исходного уравнения, а все его решения описываются совокупностью функций и у = -х.

Задание 2.3. Проинтегрировать дифференциальные уравнения: а) , б)

Ответы: а) х(у - х) = Су, у = 0; б) х=0, у=0.

2.4. Дифференциальные уравнения , приводящиеся к однородным уравнениям

Уравнение , разрешенное относительно производной, вида

(2.5)

или в дифференциальной форме -

(2.6)

где - некоторые постоянные числа, причем

называется уравнением, приводящимся к однородному уравнению.

Это уравнение с помощью замены переменных

(2.7)

где числа α и β определяются из решения системы алгебраических уравнений

(2.8)

сводится к однородному дифференциальному уравнению относительно новых переменных и и v.

Действительно, согласно (2.7) имеет место d x = d u и d y = d v,

при этом . Тогда с учетом (2.8) уравнение (2.5) сводит-

ся к однородному уравнению, разрешенному относительно производной

а уравнение (2.6) - к однородному уравнению в дифференциальной форме

форме

.

Заметим, что в случае уравнения (2.5) или (2.6) явля-

ются уравнениями, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися пе­ременными с помощью подстановки z = ах + b y.

Пример 2.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(2х - 4у + 6)d x + (х + у - 3)d y = 0. (2.9)

Решение. Заданное уравнение, записанное в дифференциальной форме, является уравнением, сводящимся к однородному с помощью замены переменных (2.7). Для определения чисел α и β применительно к этому уравнению составим и решим систему алгебраических уравне­ний (2 8):

Итак, сделав в исходном уравнении (2.9) замену переменных и

у =v+2 учетом того, что d x = d u и d y = d v, полу­чим

или

2(и - 2v)d u + (и + v)d v = 0, (2.10)

то есть однородное уравнение относительно новых переменных и и v. Для сведения последнего уравнения к уравнению с разделяющимися переменными, сделаем замену переменной по формуле , учиты­вая то, что d u = td v + vd t:

2(tv - 2v)(td v + vd t) + (tv + v)d v = 0,

или

. (2.11)

Разделяя переменные в уравнении (2.11) и интегрируя, получим

Так как и

то решение уравнения (2.11) запишем в виде

или

(2.12)

Поскольку , то из последнего соотношения получим решение промежуточного дифференциального уравнения (2.10):

Возвращаясь, наконец, к первоначальным переменным х и у по формулам

и = х - 1 и v = у - 2, запишем решение исходного диф­ференциального уравнения (2.9) в виде совокупности интегралов:

.

Теперь осталось сделать проверку на наличие дополнительных решений исходного уравнения Во-первых, отбрасываемое выражение v = 0 при применении подстановки не является решением од­нородного уравнения (2.10) и, следовательно, не дает дополнительного решения для уравнения (2.9) Во-вторых, уравнение с разделяющимися переменными (2.11) имеет два дополнительных решения t=1 и , причем последнее из них входит в совокупность решений этого урав­нения (2.12) при С = 0 Таким образом, промежуточное уравнение с разделяющимися переменными (2.11) имеет только одно дополнитель­ное решение t = 1, которому отвечает частное решение и = v однород­ного уравнения (2.10). Тогда исходное уравнение (2.9) имеет дополни­тельное решение х - 1 = у - 2, или у = х + 1, а все его решения

описываются совокупностью функций и

у = x + 1.

Задание 2.4. Найти все решения дифференциального уравнения

(у + 2)d = (2х + у - 4)d y .

Ответ: .