2.Однородные уравнения и уравнения приводящиеся к ним

2.1Однородные функции и их свойства

Функция f(x ,y) называется однородной функцией измерения m относительно своих аргументов х и у в некоторой области, если для любого значения t, кроме, быть может, t = 0, имеет место тождество

Однородные функции обладают следующими свойствами.

1°. Алгебраическая сумма однородных функций одинакового из­мерения есть однородная функция того же измерения.

2°. Произведение однородных функций есть однородная функция, измерение которой равно сумме измерений функций-сомножителей.

3°. Частное однородных функций есть однородная функция, из­мерение

которой равно разности измерений делимого и делителя.

Пример 2.1. Проверить, что функция f(x,y) =

Является однородной функцией и определить ее измерение.

Решение. Заменив в заданной функции х на xt и у на yt , получим

То есть заданная функция является однородной функцией третьего измерения.

Задание 2.1. Убедиться в том что функция

является однородной функцией нулевого измерения.

2.2. Однородные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной

Дифференциальное уравнение (1.3), разрешенное относительно производной, называется однородным, если функция, стоящая в правой части этого уравнения есть однородная функция нулевого измерения.

С помощью подстановки однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой ис­комой функции .

Действительно, так как f(x,y) - однородная функция нулевого измерения, то для любого t имеет место . Полагая, в частности, , где , получим , то есть функция f(x,y) может быть рассмотрена как функция одного аргумен­та , а именно при этом исходное урав­нение (1.3) преобразуется к виду

Перейдя в этом уравнении к новой искомой функции с помощью подстановки , получим уравнение с разделяющимися переменными

Или

При интегрировании однородного дифференциального уравнения необходимо проверить, не является ли отброшенное ранее выражение х = 0 частным дополнительным решением этого уравнения. Кроме того ,если является дополнительным решением уравнения с разделяющимися переменными относительно новой искомой функции ,то является дополнительным решением исходного

Однородного уравнения.

Пример 2.2. Найти решение уравнения .

Р ешение. Прежде всего приведем заданное уравнение к урав­нению, разрешенному относительно производной, то есть разрешим это уравнение относительно у':

(2.1)

Так как функция стоящая в правой части этого уравнения, является однородной функцией нулевого измерения,

поскольку

то уравнение (2.1) является однородным. Для того, чтобы свести это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, сделаем в нем замену переменной при этом :

Разделяя переменные в полученном уравнении и интегрируя, най­дем интеграл промежуточного уравнения относительно переменной u:

или после потенцирования будем иметь .Возвращаясь, наконец, к первоначальной переменной по формуле получим решение исходного уравнения в виде интеграла

(2.2)

Проверим теперь наличие дополнительных решений заданного уравнения. Во-первых, выражение x = 0 не является решением этого уравнения. Во-вторых, уравнение с разделяющимися переменными от­носительно новой неизвестной функции и имеет дополнительное реше­ние u = 0, тогда является дополнительным решением ис­ходного уравнения, но это решение входит в (2.2) при С = 0. Таким образом, найденное решение (2.2) является общим интегралом заданно­го дифференциального уравнения.

Задание 2.2. Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

a) б)

Ответы: а) б)