1.5. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка

При интегрировании дифференциального уравнения аналитически­ми методами сразу отыскивается все множество решений этого урав­нения. Однако при решении конкретных инженерных и физических задач из всех полученных решений требуется выделить одно, удовле­творяющее тем или иным так называемым начальным условиям. Для дифференциального уравнения первого порядка начальные условия за­даются в виде упорядоченной совокупности двух чисел , либо как у(х0) = у0, где х₀ - заданное значение независимой переменной x,а - заданное значение искомого решения у =v(х) в точке х = х₀.

Отыскание решения дифференциального уравнения, удовлетво­ряющее заданным начальным условиям, называется начальной задачей, или задачей Коши. Условия существования и единственности решения

начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка

(1.3), разрешенного относительно производной, устанавливаются теоре­мой Коши: если функция f(x , y) непрерывна и имеет непрерывную

частную производную в некоторой области D плоскости Оху ,то,

какова бы ни была точка этой области, всегда существует единственное решение у = v(х) уравнения у' = f(x,y), удовлетворяю­щее начальным условиям у = при х = .

При решении задачи Коши аналитическими методами сначала отыскивается общее решение дифференциального уравнения, а затем определяется конкретное значение произвольной постоянной, при кото­ром получается решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Решение дифференциального уравнения, получен­ное из общего при конкретном значении произвольной постоянной, называется частным решением этого уравнения. Графически решение начальной задачи означает выделение из всей совокупности интеграль­ных кривых на плоскости Оху только той, которая проходит через точку .

Пример 1.5. При начальных условиях у(0) = 1 решить задачу Ко­ши для дифференциального уравнения .

Решение. Сначала найдем общее решение заданного уравне­ния, которое является уравнением с разделяющимися переменными:

откуда

(1.15)

Подставляя затем в общий интеграл (1.15) исходного дифферен­циального уравнения координаты начальной точки х = =0 и -1. получим

Откуда С= е.

Полагая, наконец, в (1.15) С = е, запишем в виде частного инте­грала искомое решение задачи Коши: или

Задание 1.5. Найти частные решения дифференциальных уравне­ний, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

a) ; б)

Ответы: а) у = 2 - 3cosx; б)

Упражнения к разделу 1

Проинтегрировать дифференциальные уравнения и найти частные решения, если заданы начальные условия:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Ответы: