8.3. Метод Адамса

Метод Рунге - Кутта по сравнению с методом Эйлера обеспечивает высокую точность решения задачи Коши, но требует больших вычислительных затрат, поскольку для его реализации, в отличие от метода Эйлера, на каждом шаге интегрирования необходимо вычислять направление поля не в одной, а в четырех точках.

Метод Адамса решения задачи Коши для дифференциального уравнения (8.1) удачно объединяет преимущества обоих рассмотренных ранее методов он обеспечивает достаточно высокую точность вычислений, поскольку при его реализации абсолютная погрешность вычислений решения на каждом шаге интегрирования пропорциональна , то есть и вполне высокое быстродействие алгоритма, так как на каждом шаге интегрирования, как и по методу Эйлера, требу­ется вычислять значение функции только один раз

Этот метод основан на разложении по формуле Тейлора искомо­го решения у = у(х) задачи Коши для дифференциального уравнения

(8.1) в окрестности точки в которой уже известно решение этого уравнения. Для реализации этого метода наряду с конечными разностями первою порядка для функции у = у(х), где i - номер узла интегрирования, вводится понятие разностей второго порядка Аналогично могут

быть построены разности первого

(8.8)

и второго

(8.9)

порядков для производной у' = у'(х).

Чтобы получить алгоритм метода Адамса приближенного реше­ния дифференциального уравнения (8.1), запишем значение искомой функции у = y(x) в точке по формуле Тейлора с точностью до остаточного члена, ограничиваясь четырьмя ее членами

(8.10)

Поскольку решение в узле известно, то первая произ­водная в этой точке может быть подсчитана на основании (8.1), а именно: Для того, чтобы выразить и через из­вестные значения решения в соседних узлах, запишем выражения пер­вой и второй производных искомого решения дифференциального уравнения в точках и по формуле Тейлора, ограничиваясь тремя ее членами:

, (8 11)

. (8 12)

Из (8.11) найдем значение конечной разности первого порядка для производной в узле

, (8 13)

а вычитая (8.12) из (8.11), получим значение этой разности в точке

. (8.14)

Вычитая далее (8.14) из (8 13), найдем выражение конечной разности второго порядка для производной искомого решения в узле

,

откуда

. (8.15)

Подставляя (8.15) в (8 13), найдем искомое выражение для вто­рой производной решения в точке :

, (8.16)

а подставляя, наконец, найденные выражения производных (8.15) и (8.16) в (8.10), получим так называемую формулу Адамса с четырьмя членами:

(8.17)

которая дает возможность по значениям решения , , и в трех узлах , и подсчитать решение в узле

Поскольку согласно (8.9) алгоритм метода Адамса использует значения искомого решения в трех предыдущих узлах, то для начала расчетов по этому методу помимо задания начальных условий необхо­димо найти решение задачи Коши в первом и втором узлах, применяя иные численные методы. Как правило, для этой цели используется метод Рунге-Кутта, что позволяет обеспечить высокую точность вычислений искомого решения задачи Коши на всем отрезке интегрирования заданного дифференциального уравнения.

Пример 8.3. Применяя метод Адамса, по условиям примера 8.1 найти решение задачи Коши в трех последних узлах отрезка [0;0,5].

Решение. В результате решения примера 8.2 по методу Рунге—Кутта были найдены значения искомого частного решения заданного дифференциального уравнения в первом и во втором узлах: и

Для реализации алгоритма метода Адамса по формуле (8.17) вы­числение первых и вторых конечных разностей производных искомого решения удобно выполнять в табл. 8.2, первые четыре столбца ко­торой содержат ту же информацию, что и аналогичные столбцы табл. 8.1, в пятый столбец заносятся значения первых, а в шестой - вторых конечных разностей производных .

Таблица 8.2

i
0	0,0	1,0000	1,0000	0,2103	0,0222
1	0,1	1,1103	1,2103	0,2325	0,0243
2	0,2	1,2428	1,4428	0,2568	0,0270
3	0,3	1,3996	1,6996	0,2838
4	0,4	1,5834	1,9834
5	0,5	1,7970

Для начала выполнения расчетов в табл. 8.2 заносятся начальные условия и значения решения, полученные, например, по методу Рунге - Кутта решений в первом и втором узлах и вычисляются направления поля в нулевом, первом и втором узлах интегрирования. Затем по формуле (8.8) подсчитываются значения первых конечных разностей производной искомого решения в нулевом и первом узле, а по фор­муле (8.9) - значения вторых разностей в нулевом узле (вычитая в предыдущем столбце число, находящееся в текущей строке, из числа, находящегося в следующей строке).

Полученные таким образом в таблице результаты вычислений подставляются в формулу (8.17) для подсчета приближенного значения искомого решения задачи Коши в третьем узле, положив в этой фор­муле i = 2.

Затем найденное решение = 1,3996 в третьем узле

= 0,3 за­носится в табл. 8.2 и вычисляются значения поля направлений в третьем узле, первая разность для производной искомого решения во втором узле и вторая разность в первом узле. После этого, полагая в формуле (8.17) i = 3, подсчитывается решение задачи Коши в точке = 0,4:

Аналогично, занеся в табл. 8.2 полученное решение в четвертом узле = 1,5834, вычисляются , и , а затем, положив в формуле (8.17) i = 4, находится искомое решение в последнем узле

Абсолютная ошибка совместного применения метода Рунге — Кутта и метода Адамса для решения задачи Коши заданного дифференциального уравнения в конце отрезка интегрирования (х = 0,5) составляет

а относительная ошибка равна

Задание 8.3. По условиям задачи 8.1 найти решение задачи Коши методом Адамса, используя значения приближенного решения в первом и втором узлах, полученных по методу Рунге - Кутта при выполнении задачи 8.2; оценить относительную ошибку отклонения от точного решения задачи Коши в точке х = 2. Вычисления провести с четырьрмя десятичными знаками после запятой.

Ответ: