Упражнения к разделу 7

1.В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздуха содержится 0,12% углекислоты Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержа­щий 0,04% углекислоты, в количестве а, м³/мин Предполагая, что концентрация углекислоты во всех частях помещения в каждый мо­мент времени одна и та же (смешение чистого воздуха с загрязнен­ным происходит немедленно), рассчитать, какова должна быть производительность вентиляторов, чтобы по истечении 10 минут содержание углекислоты не превышало 0,06%

Ответ: а = 1080ln4 ≈ 1500 м³/мин.

2.Найти кривые, обладающие следующим свойством: отрезок оси абсцисс, отсекаемый касательной и нормалью, проведенными из произвольной точки кривой, равен 2а.

Ответ:

3.Найти уравнение кривой, для которой площадь, заключенная между осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, одна из которых постоянная, а другая - переменная, равна отношению куба переменной ординаты к соответствующей абсциссе.

Ответ: (2у² - х²)³ = Сх².

4.Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый данный момент времени его фактической стоимости. Какова будет стоимость оборудования по истечении t лет, если его начальная стоимость была ?

Ответ:

5.За какое время вода, заполняющая полусферический котел диаметром 2 м, вытечет из него через круглое отверстие на дне радиу­сом 0,1 м.

Ответ. ≈35,2 с.

6.Сколько потребуется времени, чтобы температура тела, нагре­того до 100°, понизилась до 30°, если температура помещения равна 20° и за первые 20 мин тело охладилось до 60°?

Ответ: 1 час.

7.Пуля, двигаясь со скоростью 400 м/с, пробивает стену толщи­ной 30 см и вылетает из нее со скоростью 100 м/с. Полагая силу со­противления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время движения пули в стене.

Ответ: 0,00108 с.

8. Численные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка

8.1. Метод Эйлера

Известные методы точного интегрирования обыкновенных диффе­ренциальных уравнений позволяют получить решения лишь для не­большого класса уравнений. Поэтому довольно часто приходится при­менять те или иные приближенные методы, среди которых можно от­метить методы последовательных приближений, графические методы и численные методы интегрирования

В связи с бурным развитием ЭЦВМ в последнее время наиболее широко применяются численные методы интегрирования дифференци­альных уравнений, из которых наибольшее распространение получили методы Эйлера, Рунге - Кутта и Адамса, разработанные для решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относи­тельно производной:

(8.1)

Задача ставится следующим образом: на отрезке требуется найти приближенное решение у = у(х) уравнения (8.1), удовлетворяю­щее начальному условию при . Значения искомой функции у = у(х) отыскиваются в некоторых точ­ках этого отрезка, называемых узлами интегрирования. Обычно отрезок разбивается этими точками на п рав­ных частей, и величину

(8 2)

называют шагом интегрирования. Приращения искомого приближенно­го решения и аргумента ∆х на каждом шаге интегри­рования в численных методах принято называть конечными разностями, а их отношение конечно-разностным отношением.

По определению производной функции у = у(х) в точке

имеет место , откуда

(8.3)

где - бесконечно малая функция при ∆х→0.

Метод Эйлера интегрирования дифференциального уравнения (8.1) основан на приближенной замене производной искомого решения у = у(х) в узлах интегрирования конечно-разностным отношением отбрасывая в (8.3) бесконечно малую функцию α(∆х) то есть . Тогда для точки согласно (8.1) имеет место откуда

или, учитывая геометрический смысл дифференциального уравнения с точностью до бесконечно малой функции α(∆х) получим

(8.4)

где - направление поля в точке

Формула (8.4) позволяет найти приближенное значение решения у = у(х) дифференциального уравнения (8.1) в узле с номером i + 1 по известному значению этого решения в предыдущем узле. Таким образом, полагая последовательно i = 1,2,...,n, определяются прибли­женные значения частного решения уравнения (8.1) во всех узлах от­резка интегрирования . При применении метода Эйлера абсолют­ен ошибка ∆у на каждом шаге интегрирования, равная модулю разности точного и приближенного значений решения уравнения, пропор­циональна

,то есть

Метод Эйлера имеет простой геометрический смысл, заключаю­щимся в том, что интегральная кривая ℓ. (рис. 8.1), проходящая через точку приближено заменяется так называемой ломаной

Рис. 8.1

Эйлера каждое звено которой имеет направле­ние, совпадающее с направлением поля в точке

Следует заметить, что прежде, чем применять тот или иной при­ближенный метод интегрирования, необходимо убедиться в выполнении требований теоремы Коши существования и единственности решения (см. п. 1.5) в области, в которой отыскивается решение задачи Коши.

Пример 8.1. На отрезке [0; 0,5] с шагом h = 0,1, применяя ме­тод Эйлера, проинтегрировать уравнение у' = х + у с начальными ус­ловиями при .

Решение. Расчет приближенных значений решения заданного дифференциального уравнения в узлах интегрирования х, выполнен в табл. 8.1, реализующей алгоритм метода Эйлера по формуле (8.4).

Таблица 8 1

i	Iiooio
011 0	0,0	1,0000	1,0000	0,1000
1 1	0,1	1,1000	1,2000	0,1200
2 2	0,2	1,2200	1,4200	0,1420
3 3	0,3	1,3620	1,6620	0,1662
4 4	0,4	1,5282	1,9282	0Д928
5 5	0,5	1,7210

Первый столбец этой таблицы содержит номера узлов интегриро­вания i, второй столбец - значения абсцисс узлов интегрирования , вычисляемых по формуле , третий - значения приближен­ного решения дифференциального уравнения, четвертый - величины угловых коэффициентов поля направлений в точках а пятый столбец - приращения приближенного решения на каждом шаге интегрирования.

Сначала в нулевую строку третьего столбца заносится заданное начальное условие . Затем расчет производится построчно, при этом согласно формуле (8.4) содержимое последнего столбца строки с номером i прибавляется к содержимому третьего столбца этой же строки и заносится в следующую строку того же третьего столбца. В результате получается, что на правом конце отрезка интегрирования в точке приближенное решение заданного дифференциаль­ного уравнения принимает значение

Рассмотренное в примере уравнение допускает интегрирование в квадратурах, при этом его точное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид , а значение этого точного решения в точке х = 0,5 равно . Это позволяет оценить абсолютную и относительную ошиб­ки при применении метода Эйлера, а именно абсолютная ошибка со­ставляет

я относительная ошибка равна

Задание 8.1. Применяя метод Эйлера, на отрезке [1; 2] с шагом h = 0,2 проинтегрировать дифференциальное уравнение с начальными условиями при , сохраняя при расчетах четыре знака после запятой; найти точное решение задачи Коши и вычислить относительную ошибку в точке х = 2.

Ответ: