7.7. Применение второго закона Ньютона

Движение тела под действием приложенной к нему силы при решении многих инженерно-физических задач рассматривается как движение материальной точки, расположенной в центре масс этого тела, считая при этом, что вся масса тела сосредоточена в этой точке и внешняя сила также приложена к центру масс.

В свою очередь, движение материальной точки с постоянной массой m описывается вторым законом Ньютона, представляющим собой дифференциальное уравнение первого порядка

(7.19)

где v - v(t) - вектор скорости движения материальной точки, F(v,t) -вектор силы, приложенной к этой точке, являющейся в общем случаев функцией скорости v и времени t

Пример 7.7. Футбольный мяч массой 0,4 кг брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,0048 Н при скорости 1 м/с. Вычислить время подъ­ема мяча и наибольшую высоту подъема

Решение. Пусть v = v(t) - скорость подъема мяча, а t - вре­мя. По условиям задачи на мяч массой т = 0,4 кг, брошенный вверх, действует сила тяжести =0,4кг·9,8м/с²=3,92Н, , где g = 9,8 м /с² - ускорение свободного падения, и сила сопротивления воздуха, пропорциональная квадрату скорости, то есть .Так как = ,0048Н при v = 1 м/с, то к = 0,0048 Н·с² /м². Поскольку сила тяжести и сила сопротивления воздуха направлены противопо­ложно скорости движения мяча при его подъеме, то дифференциальное уравнение (7.19) примет вид

После разделения переменных и интегрирования

найдем общий интеграл этого уравнения

или после подстановки значений m = 0,4 кг, к = 0,0048 Н с² / м² и P = 3,92 Н, получим

(7.20)

Используя начальные условия v(0) = 20 м/с, найдем

и тогда из (7 20) получим закон изменения скорости брошенного ипорх футбольного мяча

или

(7.21)

Положив, наконец, в (7.20) v = 0, найдем искомое время подъ­ема мяча с, а высоту его подъема получим интегри­рованием (7.21) по времени t в пределах от t = 0 до

М.

Задание 7.7. Лодка замедляет свое движение под действием со­противления воды, которое пропорционально скорости лодки. Началь­ная скорость лодки была 1,5 м/с, а через 4 секунды скорость ее упала до 1 м/с. Через какое время скорость лодки уменьшится до 1 см/с ?

Ответ: ≈ 50 с.

7.8. Задачи реактивного движения

Для описания движения летательного аппарата под действием силы тяги реактивного двигателя во многих случаях нельзя применить второй закон Ньютона, поскольку масса такого аппарата изменяется во времени за счет выгорания топлива, масса которого соизмерима с мас­сой самого летательного аппарата. Если же масса тела изменяется за счет присоединения или отбрасывания ее частей, то движение тела в этом случае описывается уравнением Мещерского

(7.22)

где v - вектор скорости движения тела, масса которого m = m(t) явля­ется функцией времени t, и - вектор скорости присоединенной к телу за малый промежуток времени ∆t частицы с массой ∆m , a F – вектор внешних сил, приложенных к телу.

Если ввести вектор относительной скорости присоединяемых час­тиц ,то уравнение Мещерского (7.22) примет вид

(7.23)

В случае движения летательного аппарата под действием отдачи от истечения струи газов реактивного двигателя в формуле (7.23) ком­понента называется реактивной силой, - секундным расходом топлива, а скорость

- скоростью истечения газов двига­тельной установки.

Пример 7.8. Стартовая масса ракеты-носителя “Сатурн - 5” вместе с космическим кораблем “Аполлон - 11”, предназначенным для полета на Луну, составила 2941 т. Определить скорость ракеты в момент от­деления первой ступени, если двигатели этой ступени с момента стар­та до ее отделения проработали 150 секунд, израсходовав 2147 т. топ­лива, предположив при этом, что в этот период времени ракета двига­лась точно вертикально, а скорость истечения газов двигательной ус­тановки равнялась 3000 м/с. Сопротивлением воздушной среды пренеб­речь, а ускорение свободного падения считать равным g = 9,8 м/с² и независимым от высоты полета ракеты.

Решение. Пусть m = m{t) - масса ракеты вместе с космиче­ским кораблем, a v = v(t) - ее скорость в произвольный момент вре­мени t. Воспользовавшись уравнением Мещерского в виде (7.23) и учитывая, что скорость истечения газов = 3000 м/с и сила веса Р = mg противоположно направлены скорости v ракеты, запишем дифференциальное уравнение, описывающее вертикальное движение ракеты с учетом силы тяжести:

или

Разделяя переменные и интегрируя

найдем общее решение этого уравнения:

(7.24)

Поскольку в момент старта ракеты (t= 0) ее скорость была равна нулю, то есть v = 0, а масса составляла тонну, то из (7.24) получим:

и тогда скорость движения ракеты в зависимости от изменения ее массы за счет выгорания топлива может быть определена по формуле

(7.25)

В момент времени, предшествующий отделению первой ступени (t = = 150 с), масса ракеты была равна разности ее массы на старте и массы выгоревшего топлива первой ступени, то есть m = = 2941 - 2147 = 794 тонны, и тогда искомая скорость ракеты в этот момент времени согласно (7.25) была равна

м/с ≈ 2,46км/с.

Задание 7.8. Скорость космического корабля

“Аполлон - 11”, на­ходящегося на круговой орбите Земли, составила 7,8 км/с, а его масса вместе с третьей ступенью ракеты-носителя

“Сатурн - 5” была равна 128 т. Для того, чтобы продолжить полет к Луне, были включены двигатели третьей ступени ракеты-носителя, и скорость корабля была доведена до 10,8 км/с. Определить количество топлива, потребовавше­гося для выполнения этого маневра, считая скорость истечения газов двигательной установки равной 3000 м/с. Гравитационными силами и сопротивлением среды верхних слоев атмосферы Земли пренебречь

Ответ: ≈ 80,9 т. (Указания: используя формулу Мещерского в ви­де (7.23) при условии отсутствия внешних сил, получить формулу Циолковского, устанавливающую связь между скоростью движения ра­кеты в пустоте и ее массой, изменяющейся за счет выгорания топли­ва, а затем искомое количество топлива определить как разность масс космического корабля до начала и после окончания маневра)