7.5. Задачи гидравлики

При составлении дифференциальных уравнений, описывающих процессы наполнения и опорожнения емкостей, перетекания жидкости из одной емкости в другую применяется, как правило, метод диффе­ренциалов. С этой целью составляется баланс изменения объемов жид­кости за малый промежуток времени.

Если истечение жидкости происходит через малое отверстие или через короткий патрубок, то, согласно закону Торичелли, скорость ис­течения жидкости v (в м/с) определяется формулой

(7.11)

где h - высота (в м) свободной поверхности жидкости над уровнем отверстия (определяет величину гидростатического давления на уровне отверстия), g = 9,8 м²/с - ускорение свободного падения, μ - эмпири­ческий коэффициент расхода, зависящий от свойств жидкости, в част­ности, для воды μ ≈ 0,6.

Пример 7.5. Определить время, необходимое для установления одинакового уровня воды в двух сообщающихся сосудах. Площадь горизонтального сечения первого сосуда равна S м², а второго - в два раза больше. В начальный момент времени уровень воды в первом сосуде был на Н м больше, чем во втором. Сосуды соединены корот­ким патрубком с площадью поперечного сечения ω(м²), расположенным ниже первоначальных уровней воды в обоих сосудах.

Решение. Пусть А - разность уровней воды в сосудах в про­извольный момент времени t (рис 7 4).

Поскольку величина гидростатического давления на уровне пат­рубка определяется разностью уровней воды h в сообщающихся сосу­дах, то за малый промежуток времени ∆t количество воды, перете­кающей из первого сосуда во второй, будет равно

где v - скорость перетекания, определяемая по формуле (7.11), при этом уровень воды в первом сосуде уменьшится на величину

, а во втором увеличится на .Тогда разность уровней воды в сосудах изменится на величину

то есть

.

Рис 7.4

(7

Заменяя в последнем соотношении малые при­ращения переменных их дифференциалами, получим

дифференциальное

уравне­

Рис 7.4

ние относительно функции

После разделения переменных и интегрирования найдем общий интеграл этого уравнения:

откуда

(7.12)

Поскольку в начальный момент времени (t = 0) по условиям за­дачи h = H, то, подставляя в (7.12) начальные условия, получим

и тогда частное решение дифференциального уравнения

примет вид

(7.13)

Полагая, наконец, в (7.13) h = 0, найдем искомое время, необхо­димое для выравнивания уровней воды в сосудах:

Задание 7.5. За какое время вытечет вода из цилиндрического бака диаметром 1,8 м и высотой 2,45 м через отверстие в дне диа­метром 6 см, если ось цилиндра вертикальна?

Ответ: ≈ 17,5 мин.

7.6. Решение задач теплопередачи

В задачах, связанных с передачей тепла от тела в окружающую его среду (или наоборот), для составления дифференциального уравне­ния составляется баланс количества тепла ∆Q, излучаемого (или по­глощаемого) телом за малый промежуток времени ∆t через его по­верхность, и количества тепла, которое выделяется телом при его ох­лаждении (или пошло на его нагревание).

При этом, с одной стороны, согласно закону Ньютона количест­во тепла ∆Q, излучаемого (или поглощаемого) телом за промежуток времени ∆t пропорционально разности температур окружающей среды и тела v , площади поверхности теплопередачи S и длительности промежутка времени ∆t, то есть

(7.14)

где к - коэффициент теплопередачи, характеризующий излучающую (или поглощающую) способность поверхности тела.

С другой стороны, количество тепла ∆Q, которое выделяется телом при его охлаждении (или необходимо для его нагревания), про­порционально массе тела m и разности изменения его температуры ∆v за рассматриваемый промежуток времени ∆t:

(7.15)

где с - коэффициент теплоемкости вещества тела.

Пример 7.6. Тело охладилось за 10 мин от 100° до 60°. Темпе­ратура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Через какое время тело остынет до 25°?

Решение. Пусть v - температура тела в произвольный момент времени t . За малый промежуток времени ∆t при охлаждении тело выделяет количество тепла, определяемое формулой (7.15), и такое же количество тепла, по закону Ньютона (7.14) излучается поверхностью тела в окружающую среду. Поэтому приравняем (7.14) и (7.15):

или

где . Заменяя в последнем равенстве малые приращения переменных величин их дифференциалами, получим дифференциальное уравнение, описывающее процесс теплопередачи от нагретого тела в окружающую среду:

После разделения переменных и интегрирования

найдем общее решение этого уравнения:

откуда общий закон изменения температуры охлаждающегося тела примет вид

(7.16)

Так как в начальный момент времени (t = 0) тело имело темпе­ратуру 100°, а температура окружающей среды поддерживается равной 20°, то, подставляя начальные условия в (7.16), найдем

100° = 20° + С = 80°,

и тогда (7.16) перепишется в виде:

(7.17)

Далее, используя (7.17) и условия задачи, что через 10 мин тело охладилось до 60°, найдем:

и, следовательно, закон изменения температуры охлаждающегося тела, отвечающий условиям поставленной задачи, примет вид

(7.18)

Положив, наконец, в (7 18) v= 25°, получим

то есть искомое время охлаждения тела до температуры 25° составит 40 минут

Задание 7.6. Определить время, за которое разность температур между нагретым телом и средой, температура которой поддерживается постоянной, уменьшится в три раза, если за двадцать минут оно охла­дилось вдвое.

Ответ: мин.