7.4. Применение физического смысла производной

В ряде случаев дифференциальное уравнение, описывающее тот или иной физический процесс, может быть составлено более простым путем, если воспользоваться физическим смыслом производной: производная функции

у = y(t), где t - время, есть скорость изменения величины у.

Например, скорость распада радиоактивного вещества пропорцио­нальна количеству этого вещества m = m(t) имеющегося в рассматри­ваемый момент времени t, что приводит к дифференциальному урав­нению

(7.6)

где коэффициент пропорциональности λ > 0 называется постоянной распада, а знак минус показывает, что скорость распада отрицательна (с течением времени количество радиоактивного вещества уменьшает­ся)

Это же дифференциальное уравнение (7.6) описывает процесс изменения стоимости оборудования вследствие его износа, поскольку скорость обесценивания в каждый данный момент времени пропорцио­нальна фактической стоимости

m = m(t) этого оборудования.

Далее, если m = m(t) - количество вещества С, в которое перехо­дит вещество А в результате химической реакции при постоянной тем­пературе и соблюдении некоторых других условий, то скорость реак­ции пропорциональна оставшемуся количеству вещества А, что приво­дит к дифференциальному уравнению

(7.7)

а в случае перехода двух веществ А и В в вещество С скорость реак­ции пропорциональна произведению реагирующих масс, при этом про­цесс химической реакции описывается дифференциальным уравнением

(7.8)

где а и b - начальные количества веществ А и B, а к - коэффициент пропорциональности (к > 0).

Пример 7.4. Некоторое вещество в результате химической реак­ции преобразуется в другое. Определить, какое количество первого вещества было в начале процесса, если по истечении одного часа его масса составила 31,4 г, а по истечении трех часов - 9,7 г.

Решение. Процесс химической реакции перехода первого ве­щества А с начальной массой а, которую требуется определить, в дру­гое вещество С с массой m = m(t) описывается уравнением (7.7). После разделения переменных и интегрирования

найдем общее решение этого уравнения

или

(7.9)

Так как в начальный момент времени , то из (7.9) получим С = а, и тогда частное решение дифференциального уравнения (7.7) примет вид

(7.10)

Далее, подставляя в (7.10) условия задачи, учитывая при этом, что согласно закону сохранения масс через час после начала процесса (t = 1)масса вещества С составила m = a-31,4 г, а через три часа (t = 3) она стала равной m = a-9,7 г, получим систему уравнений

Возведя в куб первое уравнение и разделив его на второе, най­дем первоначальную массу вещества А, вступившего в реакцию: а ≈ 56,5 г.

Задание 7.4. За 30 дней распалось 50 % первоначального количе­ства радиоактивного вещества. Через сколько дней останется сотая часть от первоначального количества?

Ответ: ≈ 200 дней.