Упражнения к разделу 6

Найти все решения дифференциальных уравнений.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

Ответы: 1) 2)

3)

4) 5)

6)

7) 8)

9) .

7. Приложения дифференциальных уравнений к решению физических и геометрических задач

7.1. Составление дифференциальных уравнений

Решение той или иной инженерно-физической задачи с использо­ванием математических методов исследования основано на построении математической модели, описывающей закономерности исследуемого процесса . В свою очередь, многие встречающиеся в практической дея­тельности человека процессы и явления могут быть описаны с помо­щью дифференциальных уравнений.

В общем случае, как правило, для составления дифференциально­го уравнения по условиям задачи применяется так называемый метод дифференциалов. Для реализации этого метода прежде всего одну из переменных величин следует выбрать в качестве независимой перемен­ной, а другую - в качестве искомой функции. Затем, используя усло­вия задачи, находится приращение искомой функ­ции

у = у(х), когда независимая переменная х принимает приращение ∆х, и устанавливается соотношение между приращениями переменных величин. При этом могут быть сделаны допущения, упрощающие зада­чу, но не отражающиеся на результатах. Например, неравномерно про­текающие физические процессы (неравномерное движение точки, не­равномерное нагревание или охлаждение тела, истечение жидкости из сосуда и т. д.) в течение малого промежутка времени рассматриваются как

равномерные, протекающие с постоянной скоростью

Затем в построенном соотношении между приращениями пере­менных величин последние заменяются дифференциалами, что равно­сильно отбрасыванию величин более высокого порядка малости, и по­лучается дифференциальное уравнение в дифференциальной форме. Ли­бо соотношение между приращениями величин делится на приращение независимой переменной ∆х и, переходя к пределу при ∆х→0, полу­чается дифференциальное уравнение в производных.

Такой общий подход к решению задач физического содержания реализуется, например, при решении задач, связанных с непрерывным изменением концентрации смеси различных веществ. При этом счита­ется, что втекающий газ (или жидкость) вследствие перемешивания распределяется по объему сосуда равномерно.

Пример 7.1. В воздухе комнаты, объем которой равен

200 м³ содержится 0,15% углекислого газа. Вентиляция подает в минуту 20 м³ воздуха, содержащего 0,04% углекислого газа. Через какое время ко­личество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?

Решение. Пусть V - объем углекислого газа, содержащийся в воздухе комнаты в произвольный момент времени t . За малый про­межуток времени ∆t вентилятор вместе с воздухом подает в комнату

м³

углекислого газа, а за этот же промежуток времени из комнаты объе­мом 200 м³ удаляется

м³

углекислого газа. Следовательно, за рассматриваемый промежуток вре­мени ∆t, прошедший с момента t , количество углекислого газа в воз­духе комнаты изменяется на величину

Поделив это соотношение на ∆t и перейдя к пределу при ∆t → 0, будем иметь

или

Полученное дифференциальное уравнение (7.1) с разделяющимися переменными описывает процесс изменения содержания углекислого газа в вентилируемом помещении, а его общее решение имеет вид

или

откуда:

м³ (7.2)

Поскольку в начальный момент времени (t = 0) в комнате нахо­дилось

м³

углекислого газа, то, подставляя начальные условия в (7.2), получим

,

и тогда закон изменения содержания углекислого газа в воздухе ком­наты примет вид

м³ (7.3)

И, наконец, чтобы определить время, за которое содержание угле­кислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое, то есть составит

м³,

подставим это значение V в (7.3):

откуда или t = 10 In 11 ≈ 24 мин.

Задание 7.1. В сосуд, содержащий 10 л воды, непрерывно со ско­ростью 2 л в минуту поступает раствор, в каждом литре которого со­держится 0,3 кг соли Поступающий в сосуд раствор перемешивается с содержимым сосуда и смесь с той же скоростью вытекает из сосуда. Сколько соли будет находиться в сосуде через 5 минут?

Ответ: кг.