6.4. Особое решение дифференциального уравнения, не разрешенного относительно производной

Теперь займемся исследованием дифференциального уравнения

F(x,y,y') = 0, (6.19)

не разрешенного относительно производной, на предмет отыскания его особого решения

Предположим, что уравнение (6.19) нам удалось разрешить отно­сительно производной, то есть записать в виде

(6.20)

Как было показано выше, особое решение уравнения (6.20) гео­метрически представляет собой множество особых точек, в которых нарушаются условия теоремы Коши . В дифференциальных уравнениях, встречающихся в прикладных задачах, как правило, выполняются все условия теоремы Коши, за исключением быть может неограниченности производной , что и является причиной появления особого

решения. Таким образом, необходимым условием наличия особого ре­шения уравнения (6.20), а следовательно, и уравнения (6.19) является неограниченность производной

Продифференцировав (6.19) по у, получим

откуда с учетом (6.20) найдем Очевидно , что производная не ограничена при и

Таким образом если функция является особым решением уравнения (6.19) ,то она должна удовлетворять как условиям и ,так и исходному уравнению (6.19). Поэтому необходимое условие существования особого решения уравнения (6.19) можно записать в виде

Положив у' = р ,получим

(6.21)

Система уравнений (6.21) на плоскости Оху задает в параметрическом виде кривую, которая называется

р-дискриминантной кривой причем только среди точек этой кривой могут быть особые точки уравнения (6.19).

Если какая-либо ветвь кривой (6.21) принадлежит особой кривой и в то же время является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция особым решением дифференциального уравнения (6.19). Поскольку особое решение уравнения (6.19), если оно существует, нужно искать среди р-дискриминантных кривых, то для его отыскания следует придерживаться следующего порядка:

1)найти р-дискриминантную кривую, определяемую системой уравнений (6.21);

2)путем подстановки в уравнение (6 19) выяснить, есть ли среди ветвей р-дискриминантной кривой интегральные кривые;

3)найдя общее решение уравнения (6.19), выяснить, нарушается ли единственность решения на предполагаемой особой кривой.

Относительно последнего пункта следует сделать замечание сле­дующего характера. Как было установлено ранее, общее решение урав­нения (6.19), вообще говоря, определяется не одним, а несколькими семействами интегральных кривых, в результате чего через точку может проходить несколько интегральных кривых. Поэтому единственность решения уравнения (6 19) следует понимать в том смысле, что через данную точку по данному направлению про­ходит не более одной интегральной кривой Очевидно, что точка будет особой, если через нее проходит более одной интеграль­ной кривой, имеющих общую касательную в этой точке.

Пример 6.6. Найти особое решение уравнения Клеро

у = ху'+(у')², (6.22)

применив метод р-дискриминантной кривой.

Решение . Так как F(x, у,р) = у - хр - р² и

где р = у', то уравнение р-дискриминантной кривой примет вид

а подставляя р из второго уравнения в первое, получим в явном виде уравнение предполагаемой особой кривой

(6.23)

При этом нетрудно проверить, что функция (6.23) является решением уравнения (6 22), то есть линия (6.23) является интегральной кривой.

В свою очередь, нетрудно убедиться в том, что общее решение уравнения Клеро может быть получено из самого уравнения путем формальной замены у' на произвольную постоянную С (см. п. 6.2), то есть общее решение заданного уравнения (6.22) примет вид

у = Сх + С². (6.24)

Теперь выясним, нарушается ли единственность решения в точках линии (6.23). Для этого найдем точки пересечения этой пара­болы с семейством прямых (6.24), решив совместно систему

откуда

Угловой коэффициент параболы (6.23) в точках пересечения равен

d

dx

2 С

= с

и совпадает с угловым коэффициентом прямых (6.24), то есть через точку в одном и том же направлении к = С проходят две интегральные кривые: прямая у = Сх + С² и парабола то есть единственность решения нарушена Следовательно, решение является особым решением уравнения (6.22).

Пример 6.7. Найти особое решение уравнения

Решение. Так как F(x,y,p) = у - 2хр + р² и

где р = у', то уравнение р-дискриминантной кривой запишем в виде

откуда в явном виде уравнение этой кривой примет вид у = х² Одна­ко функция у = х² не является решением заданного уравнения, и по­этому это уравнение особого решения не имеет.

Задание 6.4. Методом р-дискриминантной кривой найти особое решение уравнения х(у')² + 2ху' - у = 0.

Ответ у = - х.