6.2 Уравнение Клеро

Частным случаем уравнения Лагранжа , когда ,

Является уравнение Клеро

(6.9)

для интегрирования которого применяется тот же параметрическим метод. Полагая в (6 9) у' = р =р(х), будем иметь

(6.10)

Дифференцируя далее (6.10) по х

и учитывая, что , получим уравнение

,

которое распадается на два уравнения: и

В первом случае из уравнения следует, что р = С

Подставляя р = С в (6.10), получим общее решение уравнения Клеро

, (6.11)

представляющее собой на плоскости Оху семейство интегральных пря­мых.

Во втором случае решение уравнения совместно с (6.10) дает дополнительное решение уравнения Клеро в параметриче­ской форме:

(6.12)

Исключая из (6.12) параметр р , получим интеграл уравнения (6.9) Ф(х,у) = 0, который называется особым интегралом уравнения Клеро. Доказывается, что интегральная кривая, определяемая уравнением осо­бого решения (6.12), является огибающей семейства интегральных пря­мых (6.11), то есть все прямые (6.11) касаются этой огибающей

Пример 6.2. Найти общее и особое решения уравнения Клеро

Решение. Положим у' = р. Тогда

(6.13)

Продифференцировав далее (6.13) по х, получим

или

откуда и .

Если , то p = С, и, подставляя это значение p в (6.13), получим общее решение уравнения Клеро

Если , то согласно (6.12) особое решение уравнения Клеро определяется системой параметрических уравнений

1

1

х —

X =

так как в рассматриваемом случае Исключив параметр р , особое решение получим в виде у² = 4х.

Нетрудно убедиться в том, что парабола у² = 4х является оги­бающей семейства прямых (6.14) общего решения. Пусть точка принадлежит особой интегральной кривой, где

Так как , то уравнение касательной

к этой кривой в точке запишется в виде

Если здесь положить

то

то уравнение семейства касательных к особой интегральной кривой примет вид

то есть совпадает с урав­нением семейства (6.14) интегральных прямых общего решения.

Рис 6

Таким образом, геометрически общее решение заданного уравнения Клеро

пред­ставляет собой семейство прямых (6.14), а особое решение - параболу у² = 4х, ко­торая касается каждой прямой семейства общего решения (рис. 6 1)

Задание 6.2. Найти общие и особые решения уравнений Клеро: а) ; б) ;

в) .

Ответы. а) б)

в)

6.3. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной

При интегрировании уравнения Клеро было установлено, что по­мимо общего решения это уравнение имеет еще так называемое осо­бое решение, при этом через каждую точку особой интегральной кри­вой проходят две интегральные кривые. В связи с этим более подроб­но остановимся на исследовании вопроса о существовании и методах отыскания особых решений дифференциальных уравнений первого по­рядка, начав обсуждение этого вопроса применительно к уравнению

y = f(х, у), (6.15)

разрешенному относительно производной.

Напомним (см. п. 1.5), что если в некоторой окрестности точки плоскости Оху выполняются условия теоремы Коши существования и единственности решения уравнения

(6 15), то через эту точ­ку проходит только одна интегральная кривая, а сама точка в этом случае называется обыкновенной, или правильной, точкой дифференци­ального уравнения (6.15). Если же в точке условия теоремы Коши не выполняются, то эта точка называется особой, при этом че­рез нее либо не проходит ни одной интегральной кривой, либо она служит точкой пересечения нескольких интегральных кривых

Особая точка называется изолированной, если найдется такая ок­рестность этой точки, в которой нет других особых точек, и она назы­вается неизолированной в противном случае.

Множество неизолированных особых точек дифференциального уравнения (6.15) может располагаться на некоторой кривой, которая называется особой кривой, если она сплошь состоит из особых точек Далее, поскольку через особую точку может проходить несколько ин­тегральных кривых, то одна из них, в свою очередь, может совпадать с особой кривой.

Решение дифференциального уравнения (6.15) называется особым, если графиком этого решения служит особая кривая данного диффе­ренциального уравнения.

Поскольку невыполнение условий теоремы Коши для дифферен­циального уравнения (6.15) в особой точке связано, как правило, с нарушением в этой точке непрерывности функции

f(х, у) или ее част­ной производной , то для отыскания особого решения уравне­ния (6.15) может быть предложен следующий алгоритм:

1)находится линия , определяющая геометрическое ме­сто точек, в которых имеет место разрыв функции f(x,y) или ее ча­стной производной ;

2)подстановкой у = v(х) в уравнение (6.15) проверяется, являет­ся ли эта функция решением данного уравнения;

3)построив семейство интегральных кривых уравнения (6.15) проверяется нарушение единственности решения в точках линии

В случае положительного ответа на все три перечисленные выше пункта можно сделать вывод, что функция у = v(x,y) является особым решением дифференциального уравнения (6.15).

Пример 6.3. Найти особое решение дифференциального уравне­ния

(6.16)

Решение. Функция определена и непрерывна во всех точках плоскости Оху, а ее частная производная непрерывна всюду, кроме точек прямой у = 0, то есть эта прямая является особой линией для уравнения (6.16).

Подставляя у = 0 в исходное уравнение (6.16), убеждаемся в том, что функция у = 0 является решением этого уравнения.

Далее, интегрируя уравнение (6.16), находим его общее решение Построив это семейство интегральных кривых (рис. 6.2), видим, что в каждой точке прямой у = 0 нарушена единственность решения уравне­ния (6.16), так как через нее проходят две интегральные кри­вые - прямая

у = 0 и кубическая парабола , где

Таким образом, решение у = 0 является особым решением дифференциального уравнения (6.16).

Пример 6.4. Проверить, имеет ли особое решение уравнение

(6.17)

Решение. Функция непрерывна всюду на плоскости Оху, а ее частная производная

не ограничена на линии у = х. Следовательно, прямая у = х является осо­бой линией дифференциального уравнения (6.17). Однако подстановка у = х в уравнение (6.17) не удовлетворяет его, то есть функция у = х не является решением этого уравнения, и поэтому уравнение (6.17) особого решения не имеет.

Пример 6.5. Найти особое решение уравнения у' = f(x,y), где

если (6.18)

Решение. Функция (6.18) непрерывна в области её определения , а ее частная производная

если

терпит разрыв непрерывности на прямой у = 0, которая является осо­бой линией уравнения (6.18).

Далее нетрудно проверить, что функция у = 0 является и реше­нием этого уравнения . Однако это решение не является особым, по­скольку ни в одной точке особой прямой у = 0 не нарушается единст­венность решения, так как остальные интегральные кривые уравнения (6.18), то есть кривые , не пересекаются с прямой у = 0.

Задание 6.3. Найти особые решения уравнений:

а) б)

Ответы: а) у = 0; б) у = 1.