5.6. Уравнение, разрешимое относительно независимой переменной

Если дифференциальное уравнение (5.11) разрешимо относительно независимой переменной х, то есть приводится к виду

то, взяв за параметр у' = р и используя зависимость dy - у'dx, бу­дем иметь

откуда

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, найдем eго интеграл Ф(у,р,С)=0, который совместно с х=f(y,p) определяет в параметрической форме решение исходного уравнения (5.11)

Пример 5.6. Найти решения уравнения

Решение. Положив в качестве параметра откуда

(5.14)

заданное дифференциальное уравнение перепишем в виде

х = 1-ур³. (5.15)

Возьмем дифференциалы от обеих частей этого соотношения

и, заменив dx на согласно (5.14), будем иметь

или

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение

найдем его решение или

которое совместно с (5.15) определяет решение исходного дифферен­циального уравнения в параметрической форме

а после исключения параметра получим общий интеграл этого уравнения .

Задание 5.6. Проинтегрировать уравнение 2х = у + (у' - 2)³.

Ответ: 2х = у + (р-2)³, у = Зр² - р³ + С .

Упражнения к разделу 5

Найти решения дифференциальных уравнений:

1) 2) ;

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Ответы:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

6. Уравнения лагранжа и клеро. Особые решения дифференциальных уравнений

6.1. Уравнение Лагранжа

Рассмотрим еще один особый тип дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной, и ука­жем метод его интегрирования.

Дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относи­тельно искомой функции у = у(x) и независимой переменной х, то есть вида

(6.1)

где функции φ(у') и ψ(у') дифференцируемы по у', причем

φ(у') ≠ у', называется уравнением Лагранжа.

Для интегрирования уравнения (6.1) применяется параметрический метод, положив у' = р = р(х). Тогда (6.1) перепишется в виде

(6.2)

Продифференцируем теперь (6.2) по х

и, заменив опять у'=р ,получим

(6.3)

Далее, путем деления на уравнение (6.4) преобразуется в линейное уравнение

(6.4)

общий интеграл которого Ф(х,р,С) =0 вместе с (6.2) определяет об­щий интеграл уравнения Лагранжа (6.1) в параметрической форме.

Рассмотрим теперь отброшенный при переходе от (6.3) к (6.4) случай , то есть когда р представляет собой постоянную величину. Из уравнения (6.3) следует, что это имеет место только тогда, когда р является корнем уравнения

р= φ(р)=0. (6.5)

Итак, если уравнение (6.5) имеет действительные корни

,то к найденной выше совокупности решений уравнения Лагранжа, ис­пользуя (6 2), необходимо добавить дополнительные решения в пара­метрической форме

или, исключив параметр р, в явном виде То есть, эти дополнительные решения на плоскости Оху изображаются прямыми линиями.

Пример 6.1. Найти все решения уравнения Лагранжа

у = х(у')² + (у')² (6.6)

Решение. Положим в (6.6) у' = р : у = хр² + р², откуда

у = (х + 1)р². (6.7)

Продифференцируем теперь (6.7) по х

и, учитывая, что у' = р, получим уравнение с разделяющимися пере­менными

и в результате интегрирования

найдем решение этого уравнения:

или

.

Таким образом, используя (6.7), общее решение заданного урав­нения Лагранжа в параметрической форме запишется в

виде

(6.8)

Для исключения параметра р, используя первое соотношение в (6.8),найдем выражение

и, подставив его в (6.7), получим общее решение исходного уравнения Лагранжа в явном виде

Теперь проверим наличие дополнительных решений. Уравнение (6.5) для заданного уравнения Лагранжа принимает вид

р - р² = 0,

корни которого равны и , и, следовательно, на основании (6.7) у = 0 и у = х + 1 являются дополнительными решениями ис­ходного уравнения Лагранжа.

Задание 6.1. Найти все решения дифференциальных уравнений : ; б) ; в)

Ответы: а)

б) ;

в)