5.4. Уравнение, не содержащие независимой переменной

Если уравнение (5.1) не содержит в явном виде независимую переменную х, то оно принимает вид

F(y,y') = 0. (5.8)

Для нахождения решения такого уравнения путем введения пара­метра t оно заменяется двумя уравнениями у = φ(t) и у' = y'(t), где одна из функций ф(t) или ψ(t) выбирается, а другая находится из (5.8). Так как dy = y'dx, то

и после интегрирования получим

Следовательно, решение уравнения (5 8) в параметрической форме оп­ределяется совокупностью уравнений

(5.9)

Если уравнение (5.8) разрешимо относительно y, то в качестве параметра часто удобно положить у' = t

Пример 5.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

(5.10)

Решение. Несмотря на то, что заданное дифференциальное уравнение разрешено относительно искомой функции у, для данного уравнения более целесообразно положить у' = ψ(t) =sh t.

Тогда из (5.10), используя свойства гиперболических функций, получим

и согласно (5.9) найдем

Следовательно, общее решение уравнения (5.10) в параметриче­ской форме имеет вид

,

а исключив параметр t, получим у = ch(x - С).

Задание 5.4. Найти решения дифференциальных уравнений

а) ; б) в) .

Ответы а) х = Зt² + 2t + С, у = 2t³ + t²; б) ,

в)

5.5. Уравнение, разрешимое относительно искомой функции

В случае, когда дифференциальное уравнение первого порядка

F(x,y,y') = 0 (5.11)

разрешимо относительно искомой функции у, то есть

y = f(х,у'),

то, положив в качестве параметра у' = р =р(х), получим

y=f(x,p).

Взяв полный дифференциал от обеих частей последнего равенст­ва, будем иметь

откуда

или

Интегрируя полученное дифференциальное уравнение, найдем его интеграл Ф(х,р,С) = 0, но тогда совокупность уравнений Ф(х, р, С) = 0, у = f(х,р) будет определять решение исходного уравнения (5.11) в параметриче­ской форме

Пример 5.5. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Введя параметр

(5.12)

исходное дифференциальное уравнение перепишем в виде

(5.13)

Затем, взяв дифференциалы от обеих частей этого равенства 5dy = (2х + p)dx + (х - 2p)dp

и заменив согласно (5.12) dy на pdx, получим дифференциальное уравнение

5pdx = 2xdx + pdx +xdp - 2pdx,

или

(x - 2p)·(dp + 2dx) = 0.

Это последнее уравнение распадается на дифференциальное урав­нение dp + 2dx = 0, решение которого совместно с (5.13) определяет совокупность решений исходного дифференциального урав­нения

5у = х¹ + х- - - ,

И на алгебраическое уравнение х-2р=0, решение которого х=2р

Совместно с (5.13) дает дополнительное решение

Таким образом, решениями исходного дифференциального урав­нения является совокупность параметрически заданных функций

и дополнительное решение

Задание 5.5. Проинтегрировать уравнение у = ху' - х²(.у')³.

Ответ: