5.2 Уравнение, содержащее только производную

Дифференциальное уравнение (5.1), в котором в явном виде от­сутствуют искомая функция у и независимая переменная х, принимает вид

F(y') = 0. (5.4)

Если известно, что это уравнение относительно у' имеет хотя бы один действительный корень, то не представляет особого труда запи­сать интеграл данного дифференциального уравнения Действительно, предположим, что у' = к является некоторым корнем уравнения (5.4), при этом к - число, так как (5.4) не зависит от х и у. Интегрируя

далее у' = к, найдем у = кх + С, откуда Но так как к

является корнем уравнения (5 4), то подставляя найденное выражение для к в (5.4), получим, что

(5.5)

является интегралом уравнения (5.4).

Пример 5.2. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Конечно, отыскать корни заданного уравнения пер­вого порядка экзотической 1001- й степени и применить изложенный в п. 5.1 метод интегрирования практически не представляется возмож­ным. Однако это уравнение содержит только производную искомой функции, а алгебраическое уравнение нечетной 1001-й степени относи­тельно у' имеет хотя бы один действительный корень. Поэтому со­гласно (5.5) интеграл этого уравнения запишем в виде

Задание 5.2. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Ответ:

5.3 Уравнение, не содержащее искомой функции

Дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее в явном виде искомую функцию, имеет вид

F(x,y') = 0 (5.6)

Путем введения параметра t это уравнение заменяется двумя уравнениями х = ф(t) и у' = у(t), где одна из функций φ(е) или у(t) выбирается, а другая находится из (5.6). Так как dу = y'dx, а в рас­сматриваемом случае dx = φ'(t)dt, то получим

dy = ψ(t)φ'(t)dt .

Интегрируя, наконец, последнее соотношение, найдем

и, следовательно, решение дифференциального уравнения (5.6) можно записать в параметрической форме

(5.7)

Если уравнение (5.6) разрешимо относительно х, то есть

х = φ(у'), то в качестве параметра почти всегда удобно положить

Пример 5.3. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

Решение. Заданное уравнеие разрешимо относительно х ,

Поэтому положим .Тогда

и согласно (5.7)

Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения в параметрической форме имеет вид

В полученном решении нетрудно исключить параметр t . Если перенести произвольную постоянную С из правой в левую часть вто­рого соотношения, возвести оба соотношения в

квадрат и сложить, то общий интеграл исходного уравнения получим в виде

х² + (у - С)² = 1.

Задание 5.3. Найти решения дифференциальных уравнений: а) х = (у')³ + у'; б) 2 у' = х + In у'; в)

Ответы: а) б) в)