4.4. Метод выделения полных дифференциалов

Для решения некоторых дифференциальных уравнений, для кото­рых не представляется возможным достаточно просто найти интегри­рующий множитель, иногда удается применить метод выделения пол­ных дифференциалов отдельных частей уравнения, используя формулы дифференциалов произведения и частного функций и дифференциалов основных элементарных функций:

и т. п.

Пример 4.4. Найти решение уравнения

Решение. Сначала раскроем скобки и приведем к общему знаменателю два слагаемых этого уравнения:

Затем умножим обе части полученного уравнения на и воспользуемся формулой дифференциала частного:

Интегрируя далее обе части последнего уравнения, найдем, на­конец, решение исходного уравнения:

Задание 4.4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Ответ:

4.5. Метод замены переменных

Если в уравнении (4 1) удается выделить полный дифференциал некоторой функции φ(х,у), то в ряде случаев целесообразно перейти к новой переменной z, выполнив подстановку z = ф(х,у).

Пример 4.5. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Разделим обе части заданного уравнения на и воспользуемся формулой дифференциала частного:

Обозначив , получим уравнение

а после разделения в нем переменных и интегрирования найдем реше­ние этого уравнения:

Тогда, возвращаясь к первоначальной искомой функции у, общий интеграл исходного уравнения запишем в виде

Задание 4.5. Применяя метод замены переменных, проинтегриро­вать дифференциальные уравнения:

а) ; б) ;

в)

Ответы: a) ; б) ; в)

Упражнения к разделу 4

Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

1) 2)

3)

4) ; 5)

6) 7)

8)

9)

10)

Ответы:

5. Уравнения, не разрешенные относительно производной

5.1. Уравнение первого порядка n-й степени

Как было указано выше, дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F(x,y,y') = 0. (5.1)

Однако разрешить это уравнение относительно производной и приме­нить рассмотренные ранее методы интегрирования удается далеко не всегда Поэтому рассмотрим некоторые частные случаи дифференци­ального уравнения (5.1) и способы его интегрирования

Дифференциальное уравнение вида

(5.2)

левая часть которого представляет собой целую рациональную функ­цию относительно у', при этом ,а -непрерывные функции переменных х и у, называется уравнением первого порядка n-й степени.

Решая это уравнение как алгебраическое уравнение степени п относительно у', получим совокупность и различных дифференциаль­ных уравнений

разрешенных относительно производной, и пусть

будут их общими интегралами, тогда общий интеграл исходного урав­нения (5.2) можно записать в виде

(5.3)

Графически решение (5.3) уравнения (5 2) определяется п семей­ствами интегральных кривых, то есть в отличие от уравнения, разре­шенного относительно производной, через каждую точку плоскости Оху проходит не одна, а п интегральных кривых

Пример 5.1. Проинтегрировать дифференциальное уравнение

y-x²=С x O y y=C

Решение. Левую часть заданного дифференциального урав­нения можно представить в виде произведения двух сомножителей:

у'(у' - 2х) = 0. Следовательно, это уравнение распадается на уравнение

общий интеграл которого имеет вид

Рис 5.1

,и на уравнение

у' - 2х = 0,

после интегрирования которого

получим

Тогда согласно (5.3) общий интеграл исходного уравнения запи­шем в виде

На рис. 5.1 изображено решение рассмотренного дифференциаль­ного уравнения в виде двух семейств интегральных кривых у - С = 0 и у - х² - С = 0

Задание 5.1. Найти решение и построить семейства интегральных кривых дифференциального уравнения

Ответ: