4.3. Применение интегрирующего множителя

Если условие тотальности для уравнения (4.1) не выполняется, то это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, и реализация рассмотренного ранее алгоритма его интегрирования теряет смысл.

Любое уравнение (4.1), записанное в дифференциальной форме, может быть приведено к уравнению в полных дифференциалах, если обе его части умножить на некоторую специально подобранную функ­цию ,называемую интегрирующим множителем:

(4.12)

Для того, чтобы уравнение (4.12) стало уравнением в полных дифференциалах, для него должно быть выполнено условие тотально­сти ,или

(4.13)

Равенство (4.13) является дифференциальным уравнением интег­рирующих множителей для уравнения (4.1), поскольку каждое его ре­шение, будучи умножено на обе части уравнения (4.1), приводит по­следнее к уравнению в полных дифференциалах. Однако отыскание решений уравнения (4 13), являющегося дифференциальным уравнением с частными производными, в общем случае представляет собой до­вольно сложную задачу. Однако эта задача существенно упрощается, если интегрирующий множитель μ зависит только от одной перемен­ной х или у.

Пусть , тогда уравнение (4.13) примет вид

Откуда, пологая при интегрировании С=0, поскольку достаточно

Найти какой-либо один интегрирующий множитель ,получим

или

(4.14)

где

(4.15)

Очевидно, что в рассмотренном случае выражение (4.15) не зависит от у. Имеет место и обратное: если выражение (4.15) не зависит от у , то существует интегрирующий множитель μ , который зависит только от переменной х и находится по формуле (4.14).

Аналогично, если интегрирующий множитель зависит только от переменной у ,то есть μ = μ(х) ,то он может быть найден по формуле

(4.16)

Где выражение

(4.17)

Также зависит только от переменной y.

Пример 4.3. Найти решение дифференциального уравнения

Решение. Для заданного уравнения имеет место

Поскольку

то условие тотальности (4.3) не выполняется, и, следовательно, это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому попробуем найти интегрирующий множитель для данного уравнения. Сначала построим выражение (4 15)

которое зависит от обоих переменных, и поэтому интегрирующий множитель для заданного уравнения не может быть функцией только одной переменной х.

Затем построим выражение (4.17)

которое зависит только от одной переменной у, и тогда интегрирую­щий множитель можно найти по формуле (4 16)

Так как

то получим

После умножения исходного уравнения на интегрирующий множитель примет вид

причем нетрудно убедиться, что это уравнение стало уравнением в полных дифференциалах. Поэтому теперь можно записать:

(4.18)

Интегрируя, например, второе равенство в (4.18) по у, получим

(4.19)

а дифференцируя это соотношение по х и используя первое равенство в (4 18), будем иметь

откуда

Подставляя, наконец, найденное выражение для С(х) в (4 19), получим

а тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения запишем в виде

Задание 4.3. Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

а) ; б) ;

в)

Ответы: а) ; б) ;

В)