1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним

1.1. Основные понятия

Уравнение, в котором неизвестная функция находится под знаком производной или дифференциала, называется дифференциальным уравнением.

Порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него старшей производной Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F(x,y,y’) = о. (1.1)

или в дифференциальной форме -

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, (1.2)

где у =y(x) - неизвестная (искомая) функция, ах- независимая пе­ременная

Уравнение в дифференциальной форме (1.2) всегда, а уравнение в общем виде (1) в ряде случаев можно привести к виду

(1.3)

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной

Решением дифференциального уравнения на некотором промежут­ке изменения переменной х называется всякая функция у =v(x), при подстановке которой в это уравнение последнее обращается в тождест­во на рассматриваемом промежутке Решение дифференциального урав­нения, заданное неявно соотношением Ф(х,у) = 0. называется инте­гралом этого уравнения График решения дифференциального уравне­ния на плоскости Оху называется интегральной кривой, а сам процесс отыскания решений дифференциального уравнения интегрированием этого уравнения

Функция у = v(х,С) называется общим решением дифференци­ального уравнения, если она является решением этого уравнения при любых значениях произвольной постоянной С и описывает все решения рассматриваемого уравнения Общее решение дифференциальною уравнения заданное неявно соотношением Ф(х,у,С) = 0, называется общим интегралом этого уравнения На плоскости Oху общее решение дифференциального уравнения изображается семейством интегральных кривых

Пример 1.1. Проверить, что функция является

решением дифференциального уравнения y(1+xy)dx=xdy

Решение Найдем выражение дифференциала заданной функ­ции

и, подставив его выражение и выражение самой функции в исходное дифференциальное уравнение, получим

Таким образом, при подстановке функции у в исходное

Дифференциальное уравнение последнее обращается в тождество на всей числовой оси, кроме точек х =± ,где эта функция не определена, и, тем самым, она является решением данного дифференциального уравнения на указанной области.

Задание 1.1. Убедиться в том, что решением дифференциального уравнения хy'= является множество функций у = -1n|Сх+1|, где С - произвольная постоянная.

1.2 Уравнения с разделяющимися переменными, разрешенными относительно производной

Дифференциальное уравнение (1.3), разрешенное относительно производной, называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x,y), стоящую в правой части этого уравнения, мож­но представить в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, то есть, если уравнение можно записать в виде

y’= (1.4)

Для интегрирования такого уравнения, учитывая, что у' = ,

Оно сначала переписывается в виде

(1.5)

Затем выполняется операция разделения переменных, {включающаяся в том, что уравнение (1.5) путем умножения обеих его частей на dx и деления на приводится к виду, когда каждая часть или каж­дое слагаемое уравнения зависит только от одной переменной, причем дифференциал этой переменной находится в числителе:

Интегрируя, наконец, обе части уравнения с разделенными переменными (1.6), получим решение исходного уравнения (1.4) в квадратурах

, (1.7)

а после нахождения неопределенных интегралов и решение дифференциального уравнения (14) записывается в виде совокупности интегралов

ψ(y)=Ф (x) + C (1.8)

или и виде совокупности функций у = v(x ,С), если удается разрешить (1.8) относительно искомой функции у при этом заметим, что в отличие от интегрального исчисления произвольная постоянная С запи­сывается в момент формирования решения (1.7) в квадратурах.

При выполнении операции разделения переменных предполага­лось, что . Поэтому при интегрировании уравнений с разде­ляющимися переменными следует делать проверку на наличие допол­нительных решений, отличных от (1.8). Нетрудно убедиться в том, что такими решениями могут быть корни у = , уравнения ψ(у) = 0.

Пример 1.2. Найти все решения уравнения у'- .

Решение. Сначала приведем заданное уравнение к виду (1.5)

,

Затем выполним операцию разделения переменных

.

и проинтегрируем обе части полученного соотношения:

Так как

и то решение исходного

дифференциального уравнения получим в виде

(1.9)

Так как С- произвольная постоянная, то выражение

также будет произвольной постоянной. Заменяя в (1.9) для удобства С

на

и потенцируя полученное соотношение, после несложных преобразований

найдем решение заданного дифференциального уравнения в явном виде

Далее сделаем проверку на наличие дополнительных решений. В рассматриваемом случае ψ(у) = у(2+у), и уравнение у(2 +у) = 0 имеет два решения у=0 и у=-2, причем последнее входит в (1.10) при С - 0. Таким образом, исходное дифференциальное уравнение имеет одно дополнительное решение у = 0, а все его решения описываются совокупностью функций

и y = 0.

Задание 1.2. Проинтегрировать дифференциальные уравнения:

а) ; б)

Ответы: а) . ; б)