5. Зрівнювання полігонометричної мережі згущення з декількома вузловими точками методом послідовних наближень

Мета роботи: оволодіти методикою зрівнювання полігонометричної мережі згущення методом послідовних наближень.

Для виконання завдання необхідно засвоїти теоретичний матеріал теми “Полігонометрія 4 класу, 1 і 2 розрядів”.

Основні положення

Спосіб послідовних наближень широко використовується на практиці, особливо при зрівнюванні геодезичної основи (у вигляді полігонометричних чи теодолітних мереж), яка створюється при розпаюванні земель колективних сільськогосподарських підприємств. Цей спосіб є простим, доступним і одночасно строгим. Він може застосовуватись для простих і складних систем з вузловими точками мережі.

При зрівнюванні способом наближень з вузловими точками мережу умовно ділять на самостійні системи, кожну з однією вузловою точкою.

Наприклад, мережа на рис. 5.1 ділиться на три системи. Перша система буде з вузловою точкою 145, в якій сходяться ходи №1, №2, що йдуть від вихідних точок А і В і хід №3 – від вузлової точки 347, яка умовно приймається за вихідну; друга система з вузловою точкою 347 і ходами №3, №4, №7 і третя система – з вузловою точкою 325 і ходами №5, №6, №7.

У цих окремих системах послідовними наближеннями, використовуючи формулу середнього вагового, знаходять спочатку зрівняні значення дирекційних кутів вузлових ліній, а потім зрівняні координати вузлових точок.

У кожному новому наближенні використовуються результати попереднього наближення.

При визначенні вагового середнього Z₀ за формулою

(5.1).

У способі наближень користуються перетвореними вагами для окремих ходів:

(5.2).

Неважко зрозуміти, що [p_i']= 1 і тому

(5.3).

У такому вигляді формула для обчислення Z₀ ,більш зручна.

[3], [6].

Контрольні запитання

1. Що таке полігонометрична мережа ?

2. Для чого служать полігонометричні мережі ?

3. Що таке вузлова точка і вузлова лінія полігонометричної мережі ?

4. Як поділяється полігонометрична мережа на окремі системи при зрівнюванні способом послідовних наближень ?

5. Яка сутність зрівнювання геодезичних мереж способом послідовних наближень ?

6. Що є зрівнювальною величиною вузлової лінії мережі ?

7. Що є зрівнювальними величинами вузлових точок мережі ?

8. За якою формулою обчислюється вагове середнє зрівнювальної величини ?

Методичні пояснення до виконання роботи

Виконання завдання пояснюється на прикладі.

5.1. Підготовчі роботи.

Перед початком обчислень складають схему мереж (рис. 5.1), на якій виділяють вузлові лінії біля вузлових точок, (позначених на рис. 5.1 подвійними лініями), дирекційні кути яких потрібно зрівнювати, тобто обчислювати їх найвірогідніші значення. У даному прикладі такими лініями є лінії 145-144, 347-346, 325-324; складають таблицю вихідних даних (табл.. 5.1). Також складають відомість зрівнювання дирекційних кутів вузлових ліній (табл.. 5.2), відомість зрівнювання абсцис вузлових точок (табл.. 5.3), відомість зрівнювання ординат (табл.. 5.4). Із табл.. 5.1 виписують у табл. 5.2, 5.3, 5.4 вихідні дані: дирекційні кути твердих ліній АЕ, ВА, СВ; координати Х, У вихідних пунктів А, В, С, Е; суми кутів, суми ліній і суми приростів абсцис й ординат, кількість кутів у ходах.

5.2 Зрівнювання дирекційних кутів вузлових ліній і обчислення кутових нев”язок

Обчисляють середньовагові значення дирекційних кутів вузлових ліній. Для цього спочатку знаходять їх наближенні значення від вихідних пунктів за формулою

(5.4),

де і – номер ходу;

j-k – назва вузлової лінії.

Наприклад: α¹_145-144= α_AE + Σβ₁ – 180 · n₁;

α²_145-144= α_ВА + Σβ₂ – 180 · n₂;

α³_145-144= α_347-346 – β₃ + 180 · n₃.

α_347-346 є наближеним значенням дирекційного кута вузлової лінії 347-346, яке знайдене раніше через хід 4 (від α_AE).

Таким чином обчислюють дирекційні кути двох інших вузлових ліній і записують їх значення у гр.. 7 табл. 5.2.

Для обчислення середньовагового значення дирекційного кута вузлової лінії спочатку знаходять вагу кожного ходу за формулою

(5.5),

де р_i – вага і-го ходу;

n_i – кількість кутів і-го ходу.

Далі обчислюють допоміжні ваги для ходів за формулою (5.2) з контролем

.

Значення ваг р_i записують у гр.. 5 табл. 5.2, а значення допоміжних ваг p_i' – у гр.. 6.

Середньовагове значення дирекційного кута вузлової лінії 145-144 – у першому наближенні знаходять за формулою (5.3).. а саме:

αСВ_145-144= α¹_145-144 ·p₁'+ α²_145-144 ·p₂'+ α³_145-144 ·p₃'

результат (210º41'10") записують у гр. 7 (внизу під рискою) табл. 5.2.

Таким же чином обчислюють у першому наближенні середньовагові значення дирекційних кутів вузлових ліній 347-346 і 325-324. На цьому закінчується перше наближення.

Друге наближення виконують у тій самій послідовності, що і перше. Обчислення ведуть у гр. 8 табл. 5.2. При цьому дирекційні кути, передані від вихідних ліній, переписують із гр. 7 у 8 без змін. А для обчислення α³_145-144, використовують α_347-346 із першого наближення (135º59'52").

Середньовагове значення дирекційного кута лінії 145-144 із другого наближення (210º41'08") записують у гр.. 8 (внизу під рискою) табл. 5.2.

Далі переходять до обчислення у другому наближенні середньовагових кутів ліній 347-348, 325-324. виконуючи при цьому аналогічні операції.

Закінчивши друге наближення, переходять до третього наближення, потім до четвертого і т.д. І так доти, доки результати із суміжних наближень не почнуть повторюватись на всіх вузлових. Як тільки результати останніх двох наближень на усіх вузлових лініях повторились, обчислення зупиняють і останні результати будуть найвірогіднішими значеннями зрівнених дирекційних кутів вузлових ліній.

Після одержання найвірогіднішого значення дирекційних кутів вузлових ліній вираховують у кожному ході кутову нев’язку f_β, яка дорівнює відхиленню кожного дирекційного (незрівненого) кута α^і_j-k від його найвірогіднішого значення (α^і_j-k)_зрів.

f_βi= α^і_j-k - (α^і_j-k)_зрів. (5.6).

Значення f_βi записують у гр. 12.

Контроль обчислень виконують за формулою:

(5.7).

Практично pf_β майже завжди відхиляється від нуля на малу величину (менш ніж 0,5").

Далі у кожному ході обчислену кутову нев”язку розподіляють з оберненим знаком порівно на всі кути (в роботі не виконується).

Після обчислення дирекційних кутів вираховують прирости Δх, Δу усіх ліній у кожному ході та підраховують їх суми ΣΔх, ΣΔу (у роботі не виконується).

5.3. Зрівнювання координат вузлових точок і обчислення їх нев”язок.

У відомості най вірогідніших значень абсцис вузлових пунктів (табл..5.3) обчислюємо спочатку середньовагові значення абсцис кожного вузла за формулами:

,

(5.8),

де j – номер вузла;

і – номер ходу;

p_i' – допоміжна вага ходу вираховується за (5.2);

а , де L_i= Σ S – довжина ходу з номером і.

Результати всіх обчислень заносять у табл. 5.3 (гр. 5-11) шляхом обчислень методом послідовних наближень (за аналогією обчислень найвірогідніших дирекційних кутів одержуємо найвірогідніше значення абсцисс вузлових пунктів.

Найвірогідніші значення ординат вузлових пунктів вираховуються у відомості найвірогідніших значень ординат вузлових пунктів (табл. 5.4 гр. 5-11) за тим самим алгоритмом, що і абсциси.

І, наостанок, обчислюються координатні нев’язки fx_i, fy_i по ходах за формулами

fx_i= Xj ^і- Xзрівн.,

fy_i= Уj ^і- Узрівн., (5.9),

які записуються у гр. 12 відповідно до табл. 5.3, 5.4. Контроль обчислень виконують за формулами

.

Завдання. За вихідними даними (табл.. 5.1) полігонометричної мережі 1-го розряду (рис. 5.1) виконати зрівнювання дирекційних кутів вузлових пунктів методом послідовних наближень.

Примітка. Вибір варіанта завдання: значення дирекційних кутів вихідних напрямків АЕ, ВА, ЕА, СВ (рис. 5.1) беруть із табл.. 5.1, попередньо змінивши кожне з них на величину Δα= +(іj)º15'15"; значення абсцисс і ординат вихідних пунктів А, В, С, Е (табл. 5.1) – на величини

ΔХ= +(ij), 50м;

ΔУ= +(ij), 20м;

де (ij) – дві останні цифри номера залікової книжки студента.

Таблиця 5.1

В и х і д н і д а н і

Назва ходу	Вихідні дані			Число кутів ходу, n	Сума кутів ходу Σβ	Довжина ходу L, км	Сума приросту координат по ходу
	Дирекційний кут	Координати					ΣΔх	ΣΔу
		х	у
Хід № 1
n. A – n. E	95º49'15"	8026624,19	+40794,74	14	+1914º52'17"	3,00	-2276,95	+530,95
Хід № 2
n. B – n. A	15º07'10"	8022000,12	+40000,94	10	+1455º33'50"	3,25	-2347,49	+1325,06
Хід № 3
т.347-т.346	____	____	____	17	-2445º18'58"	1,70	+346,96	-800,34
Хід № 4
n. E – n. A	275º49'15"	8026740,94	+43529,33	12	+1660º10'40"	3,71	-2740,30	-1403,33
Хід № 5
n. E – n. A	275º49'15"	8026740,94	+43529,33	8	+1714º45'32"	3,80	-3416,54	-519,94
Хід № 6
n. C – n. B	300º44'19"	8020247,34	+43001,41	12	1869º50'01"	3,43	+3077,26	+7,62
Хід № 7
т.347-т.346	____	____	____	14	1925º24'49"	2,01	-676,40	+883,21

Таблиця 5.2

Обчислення найвірогідніших значень дирекційних кутів вузлових ліній

Вихідні дирекційні кути

Сума кутів по ходу Σβ

Число кутів ходу n

Ваги

Наближення

fβ

pfβ

Назва

α

I

II

III

IV

V

т. 145 – т. 144 210º41’08”

n. A – n. E n. B – n. A т. 347 – т. 346

95º49’15” 15º07’10”

+1914º52’17” +1455º33’50” -2445º18’58”

14 10 17

0,071 0,100 0,059 0,230

0,31 0,43 0,26 1,00

210º41’32” 30º41’00” 210º41’02” 210º41’10”

210º41’32” 41’00” 40’54” 210º41’08”

210º41’32” 41’00” 40’52” 210º41’08”

+24” -8 -16 Σpfβ

+1,70” -0,80 -0,94 =-0,04”

т. 347 – т. 346 135º59'50"

n. E – n. A т. 145 – т. 144 т. 325 – т. 324

275º49'15"

+1660º10'40" +2445º18'58" +1925º24'49"

12 17 14

0,083 0,059 0,071 0,213

0,39 0,28 0,33 1,00

135º59'55" 135º00'08" 315º59'36" 135º59'52"

135º59'55" 136º00'06" 315º59'36" 135º59'52"

135º59'55" 136º00'06" 315º59'31" 135º59'59"

+5" +16 -19 Σpfβ

+0,42 +0,94 -1,35 = +0,01

т. 325 – т. 324 190º34'42"

n. E – n. A n. C – n. B т. 347 – т. 346

275º49'15" 300º44'19"

+1714º45'32" +1869º50'01" -1925º24'49"

8 12 14

0,125 0,083 0,071 0,279

0,45 0,30 0,25 1,00

190º34'47" 10º34'20" 190º35'03" 190º34'43"

190º34'47" 3'20" 35'01" 190º34'42"

190º34'47" 34'20" 35'01" 190º34'42"

+5" -22 +19 Σpfβ

+0,62 -1,83 +1,35 = +0,14

Таблиця 5.3

Обчислення найвірогідніших значень абсцис вузлових точок

Вихідні пункти		Сума приростів абсцис по ходам ΣΔХ, м	Дов-жина ходу L, км	Вага		Наближення, м						fх, в м	Pfх, в м
Назва	Х					I	II		III	IV	V
т. 145 8024347,51
n. A n. B т. 347	8026624,19 8022000,12	-2276,95 +2347,49 +346,96	3,00 3,25 1,70	0,333 0,308 0,588 1,229	0,27 0,25 0,48 1,00	8024347,24 347,61 347,56 8024347,49		8024347,24 347,61 347,65 8024347,53	8024347,24 347,61 347,63 8024347,52	8024347,24 347,61 347,62 8024347,51	8024347,24 347,61 347,62 8024347,51	-0,27 +0,10 +0,11 Σpfх	-0,090 +0,031 +0,065 =+0,006
т. 347 8024000,66
n. E m. 145 m. 325	8026740,94	-2740,30 -346,96 +676,40	3,71 1,70 2,01	0,270 0,588 0,498 1,356	0,20 0,43 0,37 1,00	8024000,64 000,53 000,90 8024000,69		8024000,64 000,57 000,80 8024000,67	8024000,64 8024000,56 8024000,79 8024000,68	8024000,64 000,55 000,79 8024000,66	8024000,64 000,55 000,79 8024000,66	-0,02 -0,11 +0,13 Σpfх	-0,005 -0,065 +0,065 =-0,005
т. 325 8023324,39
n. E n. C m. 347	8026740,94 8020247,34	-3416,54 +3077,26 -676,40	3,80 3,43 2,01	0,263 0,292 0,498 1,053	0,25 0,28 0,47 1,00	8023324,40 324,60 324,29 8023324,40		8023324,40 324,60 324,27 8023324,39	8023324,40 324,60 324,26 8023324,39	8023324,40 324,60 324,26 8023324,39	8023324,40 324,60 324,26 8023324,39	+0,01 +0,21 -0,13 Σpfх	+0,00 +0,061 -0,065 =-0,001

Таблиця 5.4

Обчислення найвірогідніших значень ординат вузлових точок

Вихідні дані

Сума приростів по ходам ΣΔУ, м

Дов-жина ходу L, км

Вага

Наближення, м

fу, в м

pfу, в м

Назва

У

I

II

III

IV

V

т. 145 +41325,77

n. A n. B т. 347

+40794,74 +40000,94

+530,95 +1325,06 -800,34

3,00 3,25 1,70

0,333 0,308 0,588 1,229

0,27 0,25 0,48 1,00

+41325,69 326,00 325,72 +41325,78

+41325,69 326,00 325,70 +41325,77

+41325,69 326,00 325,70 +41325,77

-0,08 +0,23 -0,07 Σpfу

-0,027 +0,071 -0,041 =+0,003

т. 347 +42126,04

n. E m. 145 m. 325

+43529,33

-1403,33 +800,34 -883,21

3,71 1,70 2,01

0,270 0,588 0,498 1,356

0,20 0,43 0,37 1,00

+42125,94 126,12 126,00 +42126,04

+42125,94 126,11 126,01 +42126,04

+42125,94 126,11 126,01 +42126,04

-0,00 +0,07 -0,03 Σpfу

-0,027 +0,041 -0,015 =-0,001

т. 325 +43009,22

n. E n. C т. 347

+43529,33 43001,41

-519,94 +7,62 +883,21

3,80 3,43 2,01

0,263 0,292 0,498 1,053

0,25 0,28 0,47 1,00

+43009,39 009,03 009,25 +43009,22

+43009,39 009,03 009,25 +43009,22

+43009,39 009,03 009,25

+0,17 -0,19 +0,03 Σpfу

+0,045 -0,055 +0,015 =+0,005