9.8. Связь между теплоотдачей и касательным напряжением при продольном обтекании пластинки

Применим к описанию касательных напряжений в турбулентном пограничном слое уравнение (8.23):

, (9.56)

где – коэффициент турбулентного обмена для количества движения. Знак осреднения при опускаем.

Запишем аналогичное выражение для плотности теплового потока в турбулентном пограничном слое:

(9.57)

Здесь – коэффициент турбулентного обмена количеством теплоты, а – осредненная температура в пограничном слое.

Используя соотношения , (где – скорость набегающего потока) и (откуда ), перейдем в уравнениях (9.56) и (9.57) к безразмерным величинам; при этом получим

;

Разделив почленно эти два уравнения друг на друга, получим

(9.58)

Если мы положим Рr = 1, что практически имеет место для газов, то, как было показано в параграфе 9.8, поля температур и скоростей будут подобны друг другу и могут быть описаны одной и той же кривой. Следовательно, . В связи с этим можно также принять, что . Далее из условия

находим, что .

В результате всех этих упрощений уравнение (9.58) принимает вид

(9.59)

Относительно напряжения трения в турбулентном пограничном слое воспользуемся тем же приближением, которое было принято для этой величины в случае турбулентного течения в трубе (параграф 8.4), т. е. примем, что .

Такое же предположение сделаем относительно распределения плотности теплового потока в пограничном слое, т. е. будем считать, что .

Тогда вместо (9.59) можем написать

или

(9.60)

Но

а

где S – смоченная поверхность пластинки; F – ее полное сопротивление. Подставляя эти выражения в соотношение (9.60), находим

или

или, наконец,

(9.61)

где St – число Стентона, представляющее меру отношения интенсивности теплоотдачи и удельной энтальпии потока.

Уравнение (9.61) выражает аналогию между теплообменом и сопротивлением трения, установленную Рейнольдсом. При Рr = 1 из этого уравнения находим

(9.62)

Для газов ( ) это уравнение дает возможность определять безразмерный коэффициент теплообмена по величине коэффициента сопротивления. Подтверждение этому можно найти при сопоставлении величин и , полученных для ламинарного пограничного слоя в уравнениях (9.45) и (9.27). Действительно, по уравнению (9.27) имеем

а из уравнения (9.45) при Рr = 1 следует . Сравнивая эти два выражения, находим , что сводится к формуле (9.62).

При турбулентном пограничном слое определяется равенством (9.54). Подставляя это равенство в формулу (9.62), находим число Нуссельта для турбулентного течения в пограничном слое при Рr = 1:

. (9.63)

Теплоотдача пластинки при турбулентном пограничном слое, когда , удовлетворительно описывается формулой

, (9.64)

которая применима для случаев обтекания пластинки газами и неметаллическими жидкостями.