9.6. Диффузионный ламинарный пограничный слой на плоской пластинке

Аналогично гидродинамическому и тепловому пограничным слоям у поверхности обтекаемого тела образуется диффузионный пограничный слой, в котором концентрация растворенного вещества изменяется от значения, которое эта величина имеет в потоке, до значения у поверхности обтекаемого тела.

Поскольку уравнения конвективного переноса растворенного вещества и тепла по форме тождественны и одинаков также характер граничных условий, задаваемых для задач, которые решаются на основе теории пограничного слоя, то все решения для диффузионного пограничного могут быть получены из аналогичных выражений для теплового пограничного слоя путем замены в них температуры на концентрацию. Поэтому мы ограничимся записью только некоторых конечных формул.

Обозначив толщину диффузионного пограничного слоя через , можем аналогично равенствам (9.41) и (9.42) написать

(9.47)

(9.48)

где  диффузионный критерий Прандтля.

Так как представляет величину либо близкую к единице (для газов), либо много большую единицы (для жидкой среды), то в отличие от аналогичных равенств для теплового пограничного слоя уравнения (9.47) и (9.48) пригодны для любой среды.

Для местного значения коэффициента массообмена будем иметь уравнение, сходное с (9.44),

(9.49)

а для среднего безразмерного значения этой величины, т. е. для диффузионного числа Нуссельта, можем по аналогии с уравнением (9.45) написать

(9.50)

Определив , можно вычислить количество вещества, отдаваемого одной стороной пластинки потоку в единицу времени, кг/с,

(9.51)

где – ширина пластинки.

В случае когда (это имеет место для газов), или, что равносильно , все три пограничных слоя будут в соответствии с уравнениями (9.23), (9.42) и (9.48) совпадать между собой по толщине, т. е.  =_Т = _Д.

Если скорость, температуру и концентрацию в пределах пограничного слоя выразить в безразмерных единицах:

то в рассматриваемом случае поля скоростей, температуры и концентраций в пограничном слое будут описываться одной и той же кривой, о чем можно судить по предельным значениям этих величин. В самом деле, при , или иначе при , , , , или

Таким образом, при одинаковых значениях всех трех коэффициентов переноса ( , а и D) в пограничном слое имеет место полное подобие скоростного, температурного и концентрационного полей.

9.7. Турбулентный пограничный слой при обтекании плоской пластинки

Ранее было показано, что по мере удаления от передней кромки пластинки толщина пограничного слоя растет. При этом увеличивается и выраженное через число Рейнольдса . За тем сечением, в котором это число достигает критического значения , течение в пограничном слое становится турбулентным (рис. 9.5). Однако и в этом случае в непосредственной близости к поверхности пластинки движение остается ламинарным. Эта область течения представляет уже известный ламинарный подслой. Перестройка ламинарного пограничного слоя в турбулентный в действительности совершается не сразу в критическом сечении, а в некоторой следующей за ним переходной области.

Значение числа зависит от состояния поверхности (степени ее шероховатости) и от степени турбулентности набегающего потока. По имеющимся экспериментальным данным можно принять, что для пластинки = 16505750. Указанным пределам для отвечают следующие значения числа , выраженного через координату критического сечения: . При больших значениях числа значение х_1кр может оказаться величиной, весьма малой по сравнению с длиной пластинки . Так, например, при и будем иметь

Рисунок 9.5

Это означает, что длина ламинарного участка пограничного слоя составляет всего лишь один процент длины пластинки. В подобных случаях можно существованием этого участка пограничного слоя пренебречь и считать его турбулентным для всей длины пластины.

Для описания поля скоростей в турбулентном пограничном слое используют законы распределения скоростей для турбулентного движения в цилиндрической трубе, как логарифмический, так и степенной. Мы ограничимся лишь применением последнего.

Заменив в уравнениях (8.48)–(8.50) обозначение осредненной скорости на и введя вместо максимальной скорости на оси трубы скорость набегающего потока , а вместо радиуса трубы  толщину пограничного слоя , можем написать

(9.52)

Эти соотношения выражают распределение скорости по толщине турбулентного пограничного слоя.

Опуская подробный вывод, укажем, что использование этих соотношений совместно с уравнением импульсов, которое для турбулентного пограничного слоя имеет тот же вид, что и для ламинарного слоя, позволяет получить выражение для толщины турбулентного пограничного слоя; оно имеет вид

,

где

. (9.53)

Из этого уравнения видно, что толщина турбулентного пограничного слоя растет пропорционально , тогда как при ламинарном пограничном слое она меняется пропорционально . Следовательно, турбулентный пограничный слой растет по координате более интенсивно, чем ламинарный.

На основе уравнения (9.53) для толщины пограничного слоя может быть получено выражение для коэффициента сопротивления при турбулентном течении вдоль пластинки: .

Для лучшего соответствия с экспериментальными данными коэффициент 0,072 в этой формуле должен быть заменен на коэффициент 0,074:

(9.54)

Сравнение этой формулы с формулой (9.27) показывает, что при турбулентном пограничном слое коэффициент сопротивления значительно выше, чем при ламинарном. Так, например, при Re = 10⁶ коэффициент сопротивления при ламинарном пограничном слое по формуле (9.27)

тогда как по формуле (9.54) для турбулентного пограничного слоя

,

т. е. в четыре с лишним раза большее, чем при ламинарном слое.

Таким образом, переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный сопровождается резким увеличением коэффициента сопротивления.

Опыты показывают, что формула (9.54), как и лежащий в ее основе закон корня седьмой степени, применимы лишь при не слишком больших числах Рейнольдса ( ). При более высоких значениях Re эта формула дает заниженные результаты. Хорошее согласие с экспериментом и для чисел Re значительно больших 10⁷ дает полуэмпирическая формула Фолкнера

. (9.55)