9.3. Ламинарный пограничный слой при обтекании тонкой плоской пластинки в продольном направлении
Расположим начало
координат на передней кромке пластинки
и направим ось
вдоль пластинки параллельно направлению
набегающего потока, а ось
нормально к
поверхности пластинки (рис.
9.3). Длину пластинки примем равной
.
Жидкость будем считать несжимаемой, а
поток стационарным. Так как в рассматриваемом
случае скорость потенциального потока
постоянна вдоль всей пластинки, то
(а в соответствии с интегралом Бернулли
Эйлера и
)
и система уравнений пограничного слоя
(9.5) упрощается, принимая вид
(9.15)
Упрощается также и уравнение импульсов (9.14), которое запишется в виде
(9.16)
Рисунок 9.3
Это уравнение решается при следующих граничных и дополнительных условиях:
(9.17)
Если распределение скорости в пограничном слое выразить при помощи полинома, то в соответствии с числом граничных и дополнительных условий, привлекаемых к решению рассматриваемой задачи, этот полином должен насчитывать четыре члена, т. е.
(9.18)
Применяя к написанному полиному поочередно условия (9.17), получим
;
Из последних двух уравнений находим
Подставив найденные значения коэффициентов в выражение (9.18), получим уравнение распределения скоростей в пограничном слое
(9.19)
Используя это уравнение для интегралов в равенствах (9.12) и (9.13), получаем значения и :
Находим также
напряжение трения на поверхности
пластины
,
причем значение градиента скорости
определяем, дифференцируя уравнение
(9.19) по
.
Имеем
(9.20)
Подставляя полученные значения и в уравнение импульсов (9.16), получаем следующее дифференциальное уравнение:
или
(9.21)
Интегрирование этого уравнения дает
Постоянная
интегрирования С должна быть равна
нулю, поскольку при
.
Следовательно,
. (9.22)
Из этого уравнения видно, что толщина ламинарного пограничного слоя растет по мере удаления рассматриваемой точки от передней кромки пластинки по параболическому закону.
Умножив и разделив
правую часть уравнения на
,
можно придать ему более удобную
форму
, (9.23)
где
– значение числа Рейнольдса, отвечающее
данному расстоянию
от передней кромки пластинки. Это
равенство подтверждает общую зависимость
(9.3), полученную непосредственно из
анализа безразмерной формы уравнения
Навье Стокса.
Подставляя выражение (9.22)
для
в равенство (9.20), находим
значение напряжения трения на поверхности
пластинки как функцию
:
(9.24)
При более точном решении уравнений (9.5) пограничного слоя вместо (9.24) получают
(9.25)
Если пластинка обтекается потоком с обеих сторон, то при длине и ширине, равной единице, полное сопротивление трения ее будет
Подстановка выражения (9.25) дает
(9.26)
Часто вместо силы
сопротивления оперируют коэффициентом
сопротивления, определяемым как
безразмерное отношение силы сопротивления
к динамическому напору потока
и к смоченной поверхности
(в данном случае
):
или
(9.27)
где
– число Рейнольдса, определенное по
длине пластинки.