5.7. Применение уравнения Бернулли

Рассмотрим случаи, когда интеграл Бернулли позволяет очень просто решать задачи о движении жидкости.

Пример. Истечение жидкости из резервуара при постоянном напоре. Предположим, что размеры резервуара, из отверстия которого вытекает вода со скоростью , настолько велики, что падением уровня в нем можно пренебречь (рис. 5.7). Давление на поверхность воды в резервуаре и на боковую поверхность струи равно (или в данном случае атмосферному). Напишем уравнение Бернулли для некоторой линии тока . Скорость на свободной поверхности резервуара примем равной нулю, тогда

Рисунок 5.7

,

отсюда

. (5.72)

Скорость равна скорости предмета, свободно падающего с высоты . Равенство (5.72) выражает собой так называемую теорему Торичелли.

Поперечное сечение струи, вытекающей из сосуда, не равно поперечному сечению отверстия. Скорости частиц жидкости в момент выхода из отверстия не параллельны друг другу и имеют компоненту, направленную к центру струи: струя сужается. Отношение площади поперечного сечения струи к площади отверстия называют коэффициентом сжатия . Объемный расход в этом случае вычисляют по формуле

. (5.73)

Пример. Водомер Вентури (рис. 5.8) используется для измерения расходов жидкости и представляет собой трубу с пережатием определенных размеров и формы. По оси прибора устанавливаются два пьезометра, как показано на рис. 5.8.

Рисунок 5.8

Если применим теорему Бернулли к линии тока, расположенной, например, на оси водомера, имеем:

. (5.74)

Обозначим через , где  разность пьезометрических высот, считываемая по шкале прибора и отражающая уменьшение давления в потоке жидкости в сжатом сечении вследствие увеличения скорости потока. Зная, что

,

где – площади сечений в плоскости соответственно 1-го и 2-го пьезометров, и выражая скорости через размеры водомера при подстановке в (5.74), получим в окончательном виде

.

В данном случае не учитывали потери энергии при прохождении жидкости через водомер, неравномерность распределения скоростей в контрольных сечениях.

5.8. Циркуляционное обтекание круглого цилиндра потенциальным потоком

Известно, что если у нас есть безвихревая несжимаемая жидкость, то поток удовлетворяет следующим двум уравнениям:

. (5.75)

Хотя при всех потенциальных (безвихревых) течениях циркуляция в любой малой области потока равна нулю, тем не менее существуют такие потенциальные течения, в которых циркуляция для всего потока не равна нулю. Необходимым условием для этого является многосвязность области, в которой происходит течение.

В рамках топологии – геометрии, не связанной с метрическими соотношениями, а рассматривающей взаимное расположение геометрических тел,  выясняется необходимость классификации пространств по их «связности». Пространство называется односвязным, если любой замкнутый контур в нем может быть непрерывно стянут в точку, и многосвязным (одно-, двух- и т. д.), если этого сделать нельзя, не выходя за пределы рассматриваемой области. Примером двухсвязной области может служить комната с колонной посередине.

Отметим одну важную особенность, которая наблюдается в случае несжимаемого потенциального потока (в общем случае ее нет): если мы имеем какое-то одно решение и какое-то второе, то сумма их также будет решением. Это справедливо в силу линейности уравнений (5.75). Полный же набор гидродинамических уравнений

, (5.76)

, (5.77)

(5.78)

нелинеен (уравнение (5.77) получено путем взятия ротора от обеих частей уравнения (5.76) при с использованием уравнения (5.75)).

Однако в случае безвихревого потока вокруг цилиндра мы можем получить циркуляционное обтекание, наложив на простейший плоскопараллельный поток (рис. 5.9, a), определяемый потенциалом скоростей

, (5.79)

где c  коэффициент Лапласа, круговой (циркуляционный)  (рис 5.9, б). Для кругового пути с центром, совпадающим с центром цилиндра, криволинейный интеграл от скорости равен

. (5.80)

а б

в

Рисунок 5.9

Для потенциального течения интеграл не должен зависеть от . Тогда

, (5.81)

где тангенциальная скорость.

В результате такого наложения получим новый вид потока (рис. 5.9, в). Даже без расчета из рис. 5.9, в следует, что в слоях жидкости над цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а под цилиндром вычитаются. При этом скорость на верхней стороне цилиндра оказывается больше, а давление, согласно уравнению Бернулли, меньше, чем на нижней, так что когда на циркуляцию вокруг цилиндра налагается чистый горизонтальный поток, возникает действующая на цилиндр вертикальная сила , называемая подъемной силой. В 1904 г. Н. Е. Жуковский установил, что подъемная сила пропорциональна плотности жидкости, относительной скорости жидкости и циркуляции, т. е.

. (5.82)

Выражение (5.82) является частным случаем общей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру.

При вращательном движении тел в потоке реальной жидкости можно наблюдать возникновение циркуляционных движений. Эффект образования при этом поперечной силы (эффект Магнуса, 1852 г.) помогает объяснить многие интересные явления (отклонения «крученых» мячей в теннисе или футболе, возникновение аэродинамического момента действия воздушного потока на артиллерийский снаряд и т. д.). Известна историческая попытка применения эффекта Магнуса для создания судового движителя (А. Флетнер), состоящего из вертикальных вращающихся цилиндров, так называемых роторов Флетнера, установленных на палубе судна для приведения в движение корабля энергией ветра.

При обсуждении обтекания потенциальным потоком цилиндра (рис. 5.9) считают, что жидкость скользит по поверхности твердого тела и цилиндр в этом случае не испытывает сопротивления движению. Это утверждение неверно. В этом случае скорость на поверхности твердого тела может иметь произвольное значение и трение между жидкостью и твердым телом не учитывается. Однако то, что скорость реальной жидкости совпадает со скоростью той или иной точки твердого тела, в которой мы рассматриваем течение в данный момент времени (относительная скорость движения равняется нулю), – экспериментальный факт. Следовательно, решения для цилиндра и с циркуляцией и без нее не правильны. В реальной жидкости трением пренебречь нельзя. Результаты, полученные на основе модели идеальной жидкости, имеют вполне определенную погрешность и ограниченность в применении и зачастую носят лишь качественный характер.

112