§ 11.7. Главные напряжения, главные площадки

Здесь, как и в объемном напряженном состоянии, имеются главные площадки с направляющими косинусами и , на которых нормальные напряжения экстремальны, и они называются главными напряжениями , а касательные напряжения отсутствуют. Поэтому здесь . Подставляя это в формулы (11.9), получим:

(16)

Известно, что , поэтому уравнения (16) имеют решение, если его определитель

.

Раскроем этот определитель

. (17)

Здесь инварианты ПНС.

Решение квадратного уравнения (17) дает два корня и , которые и называют главными напряжениями в ПНС:

Окончательно получим для (знак (+)) и (знак (–)):

. (11.12)

Положение главных площадок, где действуют и , в ПНС удобно определять углами , которые нормали к главным площадкам составляют с осью . Их легко определить из условия отсутствия на главных площадках касательных напряжений. Подставляя и в (11.11), получим

,

откуда

. (11.13)

Из (11.13) получим два значения , одно , другое , которые определяют две взаимно ортогональные главные площадки. и откладывать от оси против хода часовой стрелки.

Чтобы не выяснять, на каких площадках действуют и , надо подставить и в формулу (11.10), большая величина , а меньшая . Эти величины и должны быть равны величинам, вычисленным по (11.12).

§ 11.8. Экстремальные касательные напряжения

Вырежем из тела, испытывающего ПНС, прямоугольный элемент с главными площадками, на которых действуют и (рис.11.5). Выделим наклонную площадку ab, нормаль к которой с направлением составляет угол . Напряжения и на этой площадке найдем по зависимостям (11.10) и (11.11), полагая .

Рис.11.5

(18) Из второй формулы (18) видно, что при . (11.14) Подставляя сюда и из формулы (11.12), получим . (11.15)

Итак, экстремальные касательные напряжения действуют на площадках под углом 45 к главным и определяются по формулам (11.14) или (11.15).

Нормальные напряжения на этих площадках найдем по первой формуле (18), подставляя ( ):

. (19)

Здесь учтено, что .

§ 11.9. Чистый сдвиг

Рассмотрим частный случай ПНС, когда главные напряжения .

В этом случае экстремальные найдем по (11.14), а нормальные напряжения на этих площадках по (19). Итак

.

Такой случай носит название чистый сдвиг.

Рис. 11.6

Вырежем из тела прямоугольный элемент, испытывающий чистый сдвиг, т.е. по его граням действуют только (рис.11.6). Найдем нормальное напряжение и касательное на наклонной площадке под углом (рис. 11.6). Используя формулы (11.10) и (11.11), подставляя в них: , , получим: . (11.16)

Из этих формул видно, что при , а это, как известно, характеристики главной площадки.

Итак, при чистом сдвиге главные площадки расположены под углом 45 к площадкам чистого сдвига, а главные напряжения на них:

(при ).