§ 11.4. Экстремальные касательные напряжения

Вырежем из тела малый тетраэдр, у которого координатные оси совпадают с направлениями главных напряжений, т.е. на невидимых площадках действуют только и (см. рис. 11.1). Найдем касательное напряжение на наклонной площадке с ортом .

Полное напряжение на ней и нормальное получим из зависимостей (11.2) и (11.3), полагая в них: , , т.к. на главных площадках касательных напряжений нет:

(9)

Касательные напряжения на наклонной площадке найдем по (11.4), подстановкой (9):

.

После преобразований получим

(10)

Условие экстремальности по параметрам и дает три решения, которые определяют три площадки с экстремальными :

Третьему решению соот-ветствуют рис.11.2, т.е. это площадка под углами 45 к осям с и и проходящая через ось 3. Подставляя и в выражение (10), получим

Рис.11.2

.

Окончательно

. (11)

Аналогично, на площадках с решениями 1) и 2) можно найти экстремальные и .

Итак, имеем три площадки, на которых действуют экстремальные касательные напряжения:

. (11.7)

§ 11.5. Октаэдрические нормальные и касательные

напряжения

Площадки, равнонаклоненные к направлениям главных напряжений, называются октаэдрическими, направляющие косинусы их , т.к. должно быть .

Нормальное напряжение и касательное на этой площадке через главные напряжения найдем по формулам (9) и (10) подстановкой :

;

(11.8)

Рис.11.3

Величину называют часто гидростатическим давлением. С т.О на рис. 11.3 обозначена октаэдрическая площадка с и , заштрихованы главные пло-щадки с и показаны три площадки с экстремальными касса-тельными напряжениями и . Легко показать, что

следовательно, и тоже являются инвариантами по отношению к преобразованию координатных осей.

Часть II. Плоское напряженное состояние

§ 11.6. Полное, нормальное и касательное напряжения на

наклонных площадках

Рис. 11.4

Плоское напряженное состояние (ПНС) является частным случаем объемного, когда отсутствуют все напряжения на площадках, перпендикулярных к одной из координатных осей. Пусть отсутствуют напряжения на площадках, перпендикулярных к оси , т.е. . (12) Получим ПНС в осях , показанное на рис. 11.4. На наклонной площадке действует полное напряжение

, которое можно разложить (см.рис.11.4):

1) на составляющие по осям и , т.е. на и ;

2) на нормальное и касательное напряжения.

Очевидно: . (13)

Как и в объемном напряженном состоянии, положение площадки определим так (см. рис. 11.4):

(14)

Напряжения и здесь определяются из уравнений (11.1), подставляя в них (12) и :

(11.9)

Здесь .

Уравнения (11.9) легко получить из условий равновесия треугольного элемента, показанного на рис.11.4 Определим площадки элемента:

. (15)

Умножая напряжения на площадки, составим уравнения статики:

Подставляя (15) и сокращая на , получим формулы (11.9). Нормальное напряжение найдем, проектируя и на нормаль к площадке (см.рис. 11.4):

.

Подставляем (11.9), получим, учитывая, что :

.

Подставляя (14) и учитывая, что , найдем

. (11.10)

Касательное напряжение определим, проектируя и на направление (см. рис. 11.4):

Подставим (14) и, учитывая, что , окончательно получим

. (11.11)