Раздел 7

Сложное сопротивление Бруса

До сих пор изучались простые виды деформации бруса: 1) центральное осевое растяжение (сжатие); 2) чистый сдвиг; 3) плоский изгиб, когда ; 4) кручение. Каждый вид этих деформаций вызывается своей нагрузкой.

На практике часто на конструкцию действует достаточно произвольная нагрузка, которая может вызвать несколько простых деформаций одновременно. В этом случае стержень (брус) будет испытывать сложную деформацию.

§ 7.1. Определение внутренних силовых факторов (всф)

При сложной деформации в поперечном сечении бруса могут возникнуть шесть компонент внутренних сил и моментов (ось всегда вдоль оси бруса, оси и – в поперечном сечении бруса и составляют правую систему координат ): продольная сила, поперечная (перезывающая) сила вдоль оси , поперечная сила вдоль оси , изгибающий момент относительно (вокруг) оси , изгибающий момент относительно оси , крутящий (относительно оси ) момент. Для их определения в произвольном сечении бруса используют «метод сечений», который дает полученные ранее (1.5) шесть уравнений, рассматривая одну из отсеченных частей бруса (левую или правую):

(7.1)

На рис. 7.1 показаны положительные направления всех ВСФ в сечении левой части бруса.

Левой отсеченной частью условно будем считать ту часть бруса, у которой нормаль к сечению (внешняя) направлена вдоль оси (у правой части нормаль направлена против оси ).

В сечении левой части: направлены вдоль осей соответственно; , если с концов осей и эти моменты видны против хода часовой стрелки или от этих моментов правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и

соответственно.

Рис.7.1

В сечении правой части бруса, отброшенной на рис. 7.1, положительные направления ВСФ по III закону Ньютона (действия и противодействия) направлены противоположно показанным на рис. 7.1 направлениям. Составляющие (компоненты) по осям внешних сил для левой и правой частей в уравнениях (7.1) положительны,

если они направлены вдоль осей; внешние моменты от них в сечении бруса относительно осей и положительны, если от них правый винт (буравчик) перемещается вдоль направлений осей и (совпадают с направлениями и на рис. 7.1).

С учетом этих правил по формулам (7.1) можно построить эпюры (графики) всех ВСФ по длине бруса, по которым определяется опасное сечение бруса.

Построение эпюр ВСФ:

Рис.7.2

Эп. строится в любой плоскости ( или ), обя-зательно указать знак; Эп. в плоскости , по-ложительные значения откла-дывать вдоль направления оси ; Эп. в плоскости , вдоль оси ; Эп. строится в плоскости

изгиба бруса , вдоль оси ;

Эп. в плоскости , вдоль направления оси ;

Эп. в любой плоскости ( или ), желательно указывать знак.

Часто ось бруса состоит из отрезков прямых, соединенных под углами 90(ломанный брус), и загружена произвольной нагрузкой. В этом случае брус разбивается на участки, границами которых служат точки излома оси бруса, точки приложения сосредоточенных нагрузок, начало и конец распределенных нагрузок. На каждом участке вводим правую систему координат (т. центр тяжести поперечного сечения бруса, оси и главные центральные оси сечения; оси правые, если кратчайший поворот оси к оси с конца оси виден против хода часовой стрелки).

Построить эпюры ВСФ

Пример 7.1. Рассмотрим «ломанный брус», показанный на рис. 7.2.

Исходные данные:

кН, кН, кН, кН/м, , , , , м.

Из рис. 7.2 видно, что брус имеет четыре участка. За первый участок примем тот, который имеет свободный конец ( или ). Выберем участок длиной . Ось вдоль оси бруса от т. а. На этом участке возьмем произвольное сечение с ц.т. на расстоянии от т.а и проведем оси и так, чтобы с осью они составили правую систему координат . Для записи уравнений (7.1) выгоднее рассмотреть часть бруса с известными нагрузками . Внешняя нормаль к сечению этой части направлена вдоль оси , поэтому эта часть считается «левой» при использовании формул (7.1). Правую часть рассматривать невыгодно, т.к. она более сложная и содержит в заделке «k» шесть опорных реакций (которые предварительно придется найти). Далее оси поступательно, без вращения вокруг оси (поворачиваются вокруг оси х), перемещаются на второй участок и в сечении оси и ось . Проще рассмотреть участки , и эта часть бруса считается тоже левой, т.к. нормаль в сечении направлена вдоль оси . Положение сечения определим расстоянием , причем . Далее оси перемещаем на III участок и в сечении проводим оси и . Положение сечения определим расстоянием ( ) и рассмотрим правую часть , т.к. нормаль в сечении направлена против оси . На IV участок оси переводим из положения , поворачивая их в т. С вокруг оси , ось вдоль стержня . Проводим произвольно сечение в т. , в котором располагаем оси и . Рассмотрим всю переднюю часть, поэтому сечение определим расстоянием ( ), эта часть бруса будет «левой», т.к. направлена вдоль оси (для правой части надо определить 6 опорных реакций в заделке «k»).

Для каждого участка бруса запишем формулы (7.1), по которым построим все эпюры ВСФ:

I участок (левая часть)

кН ; кН ;

кН ;

– линейная зависимость:

Считаем :

Считаем

По этим данным строим эпюры (графики) всех ВСФ на I участке на рис.7.3 по вышеуказанным правилам.

II участок (левая часть)

кН ; кН;

– линейная зависимость

Считаем :

квадратная парабола

Считаем

Считаем

Строим эпюры на II участке

III участок (правая часть)

Считаем

Считаем

.

Строим эпюры на III участке.

IV участок (левая часть)

линейная зависимость.

Считаем

линейная зависимость

Считаем .

Эпюры всех внутренних силовых факторов приведены на рис. 7.3 (1÷6).

По эпюрам можно определить тип сложного сопротивления бруса, найти опасное (расчетное) сечение на каждом участке «ломанного» бруса и величины всех ВСФ в них.

Рис.7.3