Свободное кручение тонкостенных стержней замкнутого контура

Рассмотрим кручение произ-вольного тонкостенного стержня с замкнутым контуром (эллиптическая, прямоугольная труба). Здесь толщина стенки, величина малая, пунктиром показан срединный контур сечения длиной . Ввиду малости возникающие в стенке полагаем постоянными по толщине и по конту-

ру сечения и определяются они по формуле Бредта

. (6.8)

Относительный угол закручивания определяется так

. (6.9)

Здесь А – площадь, ограниченная срединным контуром сечения.

Свободное кручение тонкостенных стержней открытого профиля

Открытый (не замкнутый) контур имеют поперечные сечения швеллера, двутавра, уголка и др. Здесь толщина стенки, длина срединной линии (пунктир) сечения. При кручении таких сечений возникают касательные напряжения, линейно меняющиеся по толщине стенки, = 0 в точках срединной линии, будет в точках сечения около внутренней и внешней поверхностей сечения. Поток касательных напряжений в сечении показан на рисунке стрелками. В таких сечениях обычно много больше и определяются так:

, (6.10) а относительный угол закручивания . (6.11) Пример 6.3: Сравнить кручение круглой трубы с радиусом срединной линии =10см, толщиной стенки =1см (замкнутый контур) и той же трубы, с про-

дольным разрезом (разомкнутый контур).

1. Замкнутый контур: используем формулы (6.8) и (6.9), подставляя в них: :

(5)

2. Открытый (разомкнутый контур). Используем формулы (6.10) и (6.11), подставляя в них , т.к. толщина разреза, примерно 1мм, не влияет на .

. (6)

Поделим формулы из (6) на формулы (5). После сокращения получим

30 раз, 300 раз.

Итак: в разомкнутой трубе напряжения в 30 раз больше, чем в замкнутой, а углы закручивания больше в 300 раз. Из этого вывода следуют практические рекомендации: если в конструкции какой-то стержень

испытывает кручение, то этот стержень нежелательно делать с открытым поперечным сечением, т.е. из швеллера, двутавра, уголка и т.д. Лучше его изготовить из трубы или сварить из швеллеров прямоугольную трубу, как показано на рис. При этом получим замкнутый контур, хорошо работающий на кручение.

Кручение прямоугольных сечений

Полученные формулы для открытого контура сечения можно применить и для прямоугольного сечения. Если , то формулы (6.10) и (6.11) дают точное решение, т.к. они получены при допущении, что .

На рис. показана эпюра в сечении бруса. В точках сечения у верхней и нижней поверхно- стей будут . В углах сечения , а на большей части размера «b» . По толщине « » меняются по линейному закону, в точках срединной линии (пунктир) . Если , то будут переменны по

размеру «b», будет в середине длинной стороны, а в углах . Здесь можно использовать формулы:

. (6.12)

Здесь: геометрический момент сопротивления, геометрический момент инерции.

Коэффициенты и зависят от отношения и приводятся в справочниках. При , т.е. получаются формулы (6.10) и (6.11).