Раздел 6

кручение стержней

Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только внутренний силовой фактор – крутящий момент (вдоль оси бруса будем всегда располагать ось ). Кручение часто встречается на практике в различных элементах машин и сооружений. Кручение прямого бруса происходит при загружении его внешними скручивающими моментами (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси. Наряду с кручением, элементы машин и сооружений иногда испытывают также изгиб и растяжение (сжатие). Такие сложные случаи нагружения будут рассмотрены позднее, а здесь ограничимся рассмотрением только одного кручения. Стержни (брусья), работающие на кручение, часто называют валами.

Если прямой брус находится в состоянии покоя или равномерного вращения, то алгебраическая сумма всех внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу, равна нулю.

При расчете валов, в ряде случаев, величины внешних скручивающих моментов определяются по величине потребляемой (передаваемой) мощности и по скорости вращения вала.

Мощность определяется в «лошадиных силах» (л.с.) или в киловаттах (КВт), а скорость вращения об/мин. В этих случаях крутящий момент определяется так:

. (6.1)

Здесь учтено, что 1л.с.= 750 Нм/сек, 1 Квт= 1020 Нм/сек.

§ 6.1. Построение эпюр Мz

К валу в разных сечениях может быть приложено несколько внешних моментов и поперечные размеры его могут изменяться. Рассмотрим пример, показанный на рис. 6.1.

Пример 6.1. Дано: 10кНм; 5кНм; 3кНм;

10см; 20см; 6см; 1м.

М_В – неизвестный опорный момент. Его можно найти из условия равновесия вала:

Рис.6.1

Отсюда 2кНм. Внутренние крутящие моменты , возникающие в поперечных сечениях вала, определяются известным методом сечений по формуле (1.5).

. (6.2)

Здесь внешние моменты относительно оси для правой или левой отсеченных частей, они положительны, если с конца оси видны против хода часовой стрелки. По (6.2) можно определить на каждом участке вала и построить эпюру . Построим эпюру для вала, показанного на рис. 6.1.

I участок левая часть

2кНм.

II участок левая часть

– 8кНм.

III участок правая часть

– 3кНм.

По этим данным строим эпюру на рис. 6.1. Следует учитывать, что max внутренний часто не равен max внешнему моменту. Все расчеты вала на прочность ведутся на внутренние .

§ 6.2. Напряжения и деформации при кручении круглых

валов

Исследования показали, что характер деформаций в вале зависит от формы его поперечного сечения. Здесь рассмотрим кручение валов с круглым или кольцевыми сечениями. Сначала рассмотрим результаты эксперимента: на боковую поверхность круглого вала нанесем сетку из продольных и окружных линий. После закручивания вала обнаружим:

• Продольные линии поворачиваются на угол , а прямоугольники, образованные сеткой, превращаются в ромбы, т.е. подвергаются сдвигу .

• Ось вала останется прямой, контуры поперечных сечений не меняются, остаются плоскими, но поворачиваются друг относительно друга на некоторый угол, называемый углом скручивания .

• Расстояния между сечениями не меняются, т.е. волокна в продольном направлении не деформируются.

Перечисленные наблюдения дают основания для принятия следующих гипотез (допущений) при кручении круглых валов:

1. Поперечные сечения не меняют форму и размеры, остаются плоскими (гипотеза Бернулли).

2. Продольные волокна не деформируются: .

Согласно гипотезе 2 и в поперечном сечении возникают только – касательные напряжения, перпендикулярные к радиусам сечения. Для определения этих напряжений и деформаций получены формулы*⁾:

(6.3) (6.4) Формула (6.4) определяет относительный угол закручивания вала.

Из (6.3) видно, что линейно меняется в сечении: при (в центре) и будет при , т.е. в точках сечения у поверхности вала.

. (6.5)

Здесь: полярный момент инерции сечения; полярный момент сопротивления сечения

Для сплошного круглого сечения радиуса

.

Для кольцевого сечения (труба) с и

.

*) Выводы этих формул приводятся во многих учебниках, например в [1, 7, 11, 22 и др.].

Интегрируя (6.4), получим угол поворота одного сечения вала относительно другого сечения, расположенных на расстоянии друг от друга.

. (6.6)

Здесь модуль сдвига материала вала, называют жесткостью вала при кручении.

Если на участке вала длиной и диаметр вала не меняются, то

. (6.6а)

Если и диаметр меняются на длине (см. рис. 6.1), то определяется как алгебраическая сумма углов закручивания по участкам с постоянными и :

. (6.6в)