3. Средние величины

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в социально-экономических исследованиях, является средняя величина, представляющая собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщенную характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он выражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности. Широкое применение средних величин объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимыми в анализе явлений и процессов общественной жизни.

При решении задач на вычисление средних величин необходимо особое внимание обратить на правильное определение из исходных данных индивидуального значения признака «X», частоты варианта «F» и их зависимость (прямую и обратную), а при определении моды и медианы – на построение вариационных рядов в возрастающем или убывающем порядке.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда известны значения признаков (варианты) и число единиц (частоты). Если значения частот равны между собой или отсутствуют (каждый вариант признака встречается только один раз), то применяется формула средней арифметической простой

, (3.1)

где – значение признака (вариант);

n – число вариант.

Пример 1. На предприятии работают три торговых агента, занимающихся реализацией сливочного масла. В течение месяца каждый из них реализовал по 25 т продукции, но первый агент продал оптом всю партию по цене 55 руб. за 1 кг, второй и третий продали продукцию мелким оптом по цене соответственно 50 и 60,5 руб. Определить среднюю цену реализации масла. Обосновать выбор формулы для расчета средней цены.

Решение. Поскольку все агенты реализовали одинаковое количество масла, то применяется формула средней арифметический простой

Если частоты не равны, то применяется формула средней арифметической взвешенной

= (3.2)

Пример 2. Определить среднемесячную зарплату, расчетные данные взять из табл. 3.1.

Таблица 3.1

№ п/п	Количество работников, чел. (f)	3/плата одного работника в месяц, в руб. (x)	ФОТ, руб. (  XF)
1	450	1 000	450 000
2	500	1 100	550 000 0
3	550	1 200	660 000
4	600	1 300	780 000
5	650	1 400	910 000
Итого	2 750		3 350 000

Решение. Расчет средней величины производится по формуле средней арифметической взвешенной

Задача 1. На основании таблицы 3.2 определить средний тарифный разряд рабочих трех бригад.

Таблица 3.2

Порядковый № рабочего	Тарифный разряд
	1 бригада	2 бригада	3 бригада
А	1	2	3
1	2	3	3
2	4	5	2
3	6	6	2
4	5	6	3
5	4	5	5
6	3	4	6
7	3	5	5
8	2	6	6
9	4	4	4
10	5	4	5

Пример 3. Распределение работников по стажу работы на предприятии характеризуется следующими данными.

Таблица 3.3

Группы работников по стажу, лет	Количество работников, чел. ,в, чел.
А	1
до 5	18
5–10	42
10–15	34
15–20	25
свыше 20	12
Итого	131

Определить средний стаж работы.

Решение. Для вычисления средней сначала нужно преобразовать интервальные значения признака в дискретные. В каждой группе за величину признака принимаем условно середину интервала. Затем вычисляем среднюю величину для всего ряда распределения по формуле средней арифметической взвешенной. Расчет произведем в таблице 3.4.

Таблица 3.4

Группы работников по стажу, лет (X)	Середина интервала, лет ( Xi)	Количество работников, чел. (fi)	Отработано, чел.-лет (XiFi)
А	1	2	3
до 5	2,5	18	45
5–10	7,5	42	315
10–15	12,5	34	425
15–20	17,5	25	437,5
свыше 20	22,5	12	270
Итого		131	1 492,5

В закрытом интервале серединное значение определяется как полусумма значений нижней и верхней границ, например,

.

Если крайние границы начального и конечного интервалов неизвестны, то предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как и в соседнем интервале.

Средний стаж:

.

Пример 4. Распределение торговых предприятий по числу работающих характеризуется следующими данными.

Таблица 3.5

Группы предприятий по числу работающих, чел.				Число предприятий, ед.
		А		1
		до 10		25
		10–20		28
		20–30		15
		30–40		19
свыше 40				18
		Итого		105

Определить среднее число работающих в торговых предприятиях района, применяя способ моментов.

Решение. Определим среднее число работающих, применяя способ моментов или способ отсчета от условного нуля. Расчет произведем по формуле

. (3.3.)

где с – значение середины интервала, находящегося в центре ряда (если количество интервалов нечетное), или середины интервала с наибольшей частотой, также из центра ряда (при четном количестве интервалов).

Расчет произведем в таблице 3.6.

Таблица 3.6

Группы предприятий по числу работающих, чел. (X)	Число предприятий	Середина интервала, чел. (Xi)	Хi – с, где с = 25	D = (Хi – с) / i, где i = 10	D f
А	1	2	3	4	5
до 10	25	5	-20	-2	-50
10–20	28	15	-10	-1	-28
20–30	15	25	0	0	0
30–40	19	35	10	1	19
свыше 40	18	45	20	2	36
Итого	105				-23

Подставив данные таблицы в формулу, получим

При расчете статистических показателей помимо средней арифметической могут использоваться и другие виды средних. Однако в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следствием реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая является превращенной формой арифметической средней. Вместо гармонической всегда можно рассчитать среднюю арифметическую, но для этого сначала нужно определить веса отдельных значений признака.

В том случае, если объемы явлений, т.е. произведения по каждому признаку равны, применяется средняя гармоническая (простая)

, ( 3.4)

где – сумма обратных значений вариант;

n – число групп.

Пример 5. Две автомашины прошли один и тот же путь. Одна со скоростью 60 км/ч, а вторая 80 км/ч. Определить среднюю скорость.

(км/ч).

Если статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение, применяется формула средней гармонической взвешенной

. (3.5)

Задача 2. Для вычисления средней гармонической простой и взвешенной используются данные, приведенные в таблицах 3.7, 3.8.

Таблица 3.7

Участки	Скорость движения поездов, км/ч	Протяженность участка, км
1	40	200
2	50	250
3	60	300
4	70	210
5	80	240

Таблица 3.8

Участки	Длина участка, км	Скорость движения поездов на участке, км/ч
1	165	55
2	200	50
3	250	50
4	210	70
5	300	60
6	400	40

Пример 6. В таблице 3.9 приведены данные о товарообороте магазинов района.

Таблица 3.9

Порядковый № магазина	Фактический товарооборот, млн руб. (хifi)	Выполнение плана, % (Xi)
А	1	2
1	250,0	99,2
2	68,0	102,1
3	195,5	103,2
4	288,6	100,8
5	150,8	100,3

Определить средний процент выполнения плана товарооборота. Обосновать выбор средней.

Решение. Если известны варианты (Хi) и частоты (fi), то следует применять формулу средней арифметической взвешенной, а если известны произведения вариант и частот (XiFi), то формулу средней гармонической взвешенной.

В задаче известно произведение варианты на частоту, т.е. «фактический товарооборот = плановый товарооборот х процент выполнения плана». Поэтому применяем формулу средней гармонической взвешенной

Х = 250 + 68 + 195,5 + 188,6 + 150,8__ __ = 852,9 х 100 % = 100,94 %.

250 + 68 + 195,5 + 188,6 + 150,8 845,4

0,992 1,021 1,032 1,008 1,003

Задача 4. Имеются данные об урожайности в фермерском хозяйстве.

Таблица 3.10

Бригады	Базисный период		Отчетный период
	урожайность, ц/га	валовый сбор, ц Ц	урожайность, ц/га	посевная площадь, га
1	21	1 890	23	100
2	23	1 840	24	85
3	20	2 100	22	110
Итого:		5 830		295

Рассчитать среднюю урожайность за каждый период по трем бригадам вместе.

Задача 5. Производство однородной продукции в отчетном периоде предприятиями АО следующее.

Таблица 3.11

Предприятия	Фактический уровень продукции, млн руб.	Выполнение плана, %	Удельный вес продукции 1 сорта, %
1	3,5	98	90
2	2,8	102	95
3	4,7	105	98
Итого:

Определить:

1) средний процент выполнения плана выпуска продукции в целом по АО;

2) средний процент выпуска продукции 1 сорта по АО.

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму произведения индивидуальных величин, то следует применять геометрическую среднюю величину. Формула средней геометрической простой такова

. (3.6)

Расчет средней геометрической взвешенной производится по формуле

. (3.7)

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

Например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, за второй год – еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, т.к. если бы за год цены возросли в (2 + 3)/2 = 2,5 раза, то за два года цена возросла бы в 2,5 х 2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: раза.

При исследовании показателей вариации используется средняя квадратическая. Расчет средней квадратической простой производится по формуле

. (3.8)

Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: Х₁ = 100 м; Х₂ = 200 м; Х₃ = 300 м.

Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, очевидно, что мы должны исходить из сохранения общей площади всех участков.

Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300) / 3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, т.к. общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна 3 х (200 м)² = 120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м². Правильный ответ дает квадратическая средняя

Средняя квадратическая взвешенная определяется по следующей формуле:

. (3.9)

Если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, то применяется средняя кубическая

. (3.10)

Все рассмотренные выше виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Они различаются лишь показателем. Степенная средняя степени k есть корень k-й степени из частного от деления суммы индивидуальных значений

. (3.11)

При k = 1 получаем среднюю арифметическую. При k = 2 – среднюю квадратическую, при k = 3 – кубическую, при k = 0 – геометрическую, при k = -1 – гармоническую среднюю. Чем выше показатель степени k, тем больше значение средней величины (если индивидуальные значения признака варьируют). Если все исходные значения признака равны, то все средние равны этой константе. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом можарантности средних:

.

Видом структурных средних величин являются мода и медиана. Медиана – величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

Медиана (Ме) в дискретных рядах – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части. В нечетном ранжированном ряду медианой будет варианта, расположенная в центре ряда. В четном ряду медианой будет средняя арифметическая из двух смежных центральных вариант.

Величина признака, которая встречается в изучаемом ряду, в совокупности чаще всего принято называть модой.

В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.

В интервальном вариационном ряду порядок нахождения медианы следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода и медиана определяются по формулам:

, (3.12)

где Х_мо – нижняя граница модального интервала;

I _мо – величина модального интервала;

F_мо – частота, соответствующая модальному интервалу;

F_мо – частота, предшествующая модальному интервалу;

F_мо – частота интервала, следующего за модальным,

и

, (3.13)

где Х _me – нижняя граница медианного интервала;

I_me – величина медианного интервала;

(1/2)∑F – полусумма частот ряда;

S_me-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

F_me – частота, соответсвующая медианному интервалу.

Пример 7. В таблице 3.12 представлены данные о распределении рабочих по стажу работы.

Таблица 3.12

Стаж, лет	1	2	4	5	6	7	8	9	10	Итого
Число рабочих, чел.	18	14	16	8	12	35	28	25	16	145

Определить моду и медиану.

Решение. Мо = 8 лет, т.е. имеет наибольшую частоту – 28 чел. Ме = 7 лет, т.к. здесь мы имеем накопленную частоту больше суммы всех частот ряда (18 + 14 = 32 + 16 = 48 + 8 = 56 + 12 = 68 + 3 = 71 + 5 = 76).

Задача 6. По данным табл. 3.13 определить, какие часы суток работ ж.-д. станции являются модальной величиной, если время отправления пассажиров характеризуется данными, приведенными в табл. 3.13. Определить медиану.

Таблица 3.13

№ п/п	Часы работы	Количество отправленных пассажиров
1	9-10	3 470
2	10-11	4 270
3	11-12	5 100

Задача 7. Для изучения вкладов населения произведена выборка вкладчиков сберегательного банка, в результате чего получены следующие данные.

Таблица 3.14

Размер вклада, тыс. руб.	Число вкладчиков (fi)	Середина интервала (Xi)	Xi fi
до 10	30
10–20	40
20–40	20
40–80	6
свыше 80	4
Итого	100

Определить средний размер вклада, моду и медиану.