18.Общее уравнение плоскости
В декартовых координатах каждая плоскость определяется уравнением первой степени и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.
Всякий (не равный нулю) вектор, перпендикулярный к данной плоскости, называется ее нормальным вектором. Уравнение
определяет плоскость, проходящую через точку
M0(x0,y0z0)
и имеющей нормальный вектор
n=(A,B,C)
Раскрывая в уравнении (1) скобки и обозначая число
б
уквой,
D,
представим его в виде
Это уравнение называется общим уравнением плоскости.
20.Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей
УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ
Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями:
П
од углом между
двумя плоскостями будем понимать один
из двугранных углов, образованных этими
плоскостями. Очевидно, что угол между
нормальными векторами n1
и n2
плоскостей α1 и
α2 равен
одному из указанных смежных двугранных
углов
П
оэтому
Т
.к.
И
т
о
Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы n1 и n2 параллельны, а значит
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, n1*n2 = 0 или A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0
Таким образом,
P.S.
Примеры тут:
22.Нормированное уравнение плоскости.
Где:
-углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p- расстояние от начала координат до плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:
З
десь
нормирующий
множитель плоскости, знак которого
выбирается противоположным знаку D,
если
произвольно,
если D
= 0
.
23.Прямая в пространстве. Общее уравнение прямой
П
рямая
в пространстве может быть задана также
как пересечение двух плоскостей, если
плоскости не параллельны:
Все формы задания прямой в пространстве взаимосвязаны.
24.Параметрическое и Каноническое уравнение прямой.
Параметрическое:
Векторное уравнение (13.2) в координатной форме представляется следующим образом
Каноническое:
Исключив t из уравнения (13.3), разрешив их сначала относительно t, а затем, приравняв правые части равенств, имеем:
Если какая – либо координата направляющего вектора равна нулю, то равен нулю и числитель дроби.
26.Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим
.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и :
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен .
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .