2. Метод искусственного базиса или м-задача (область применения метода, идея и алгоритм)

Если задача сформулирована в канонической форме

и базис выделить нельзя без каких-либо дополнительных действий, то можно составить М-задачу в следующем виде:

где x_n+i – искусственная базисная переменная. Далее составляется расширенная симплекс-таблица. Цель: исключить искусственные переменные из симплекс-таблицы.

Рассмотрим алгоритм на примере:

Составим М-задачу: F=x1+2x2-x3+x4-M(x5+x6)→ max

Составляем расширенную симплекс-таблицу:

БП	1	-х1	-х2	-х3	-х4
х5	6	2	3	1	1
х6	2	1	0	2	1
f	0	-1	-2	1	-1
M	-8	-3	-3	-3	-2

-М(х5+х6)=-М(8-3х1-3х2-3х3-2х4)

БП	1	- х6	-х2	-х3	-х4
х5	2	-2	3	-3	-1
х1	2	1	0	2	1
f	2	1	-2	3	0
М	-2	3	-3	3	1

Как только искусственная переменная исключается из БП, то этот столбец выбрасывается.

БП	1	-х3	-х4
х2	2/3	-1	-1/3
х1	2	2	1
f	10/3	1	-2/3
М	0	0	0

Если в М-строке все нули и все искусственные переменные исключены из базиса, то М-строка выбрасывается и далее следует обычный симплекс-метод.

Если в М-строке существуют элементы >0 и все искусственные переменные исключены из базиса, то система несовместна.

Если в М-строке существуют элементы >0 и не все искусственные переменные исключены из базиса, то разрешающий элемент выбирается таким образом, чтобы исключить искусственную переменную из базиса.

БП	1	-х3	-х1
х2	4/3	-1/3	1/3
х4	2	2	1
f	14/3	7/3	2/3

Х^*=(0, 4/3, 0, 2)

F(Х^*)=14/3

2. Двойственные задачи линейного программирования (Правила построения двойственных задач, теоремы двойственности).

Теорема1: Если одна из задач двойственной пары имеет решение, то другая задача т.ж. имеет решение. При этом для любых оптимальных планов (Х^* = (х₁^*,…, х_n^*) – план исходной задачи и У^* = (у₁^*,…, у_m^*) – план двойственной задачи) имеет место равенство:

f(X^*) = F(Y^*).

Следствие1: Для разрешимости одной из задач двойственной пары необходимо и достаточно чтобы одна из задач имела хотя бы одно решение.

Следствие2: Если целевая функция одной из задач двойственной пары неограничена, то другая не имеет решение.

Следствие3:Для оптимальности планов Х^*, У^* пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство.

Теорема2: Для оптимальности допустимых планов Х^*, У^* пары двойственных задач необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений:

Исходная задача: Двойственная задача

AX  B A^TY  0

X  0 Y  0

Составление двойственной задачи:

Исходная задача	Двойственная задача
(1)	(2)

Для построения двойственной задачи необходимо соблюдать следующие правила:

• каждому i-му ограничению задачи (1) соответствует пере­менная y_i задачи (2), и, наоборот, каждому j-му ограничению двойственной задачи (2) соответствует переменная х_j, задачи (1);

• матрица системы ограничений двойственной задачи получает­ся из матрицы системы ограничений исходной задачи транспониро­ванием, т. е. заменой строк столбцами, с сохранением их порядка;

• свободные члены ограничений задачи (1) являются коэф­фициентами при соответствующих переменных целевой функции двойственной задачи (2); аналогично коэффициенты целевой функ­ции исходной задачи (1) совпадают со свободными членами систе­мы ограничений двойственной задачи (2);

• если целевая функция исходной задачи (1) максимизирует­ся, то целевая функция двойственной задачи (2) минимизируется;

• в задаче (1) ограничения-неравенства следует записывать со знаком ≤, а для задачи (2) — со знаком ≥;

• если на j-ю переменную задачи (1) наложено условие не­отрицательности, то j-е ограничение задачи (2) будет неравен­ством, в противном случае j-е ограничение будет равенством; ана­логично связаны между собой ограничения задачи (1) и перемен­ные задачи (2).

Построить двойственную задачу к задаче

f = 3x₁ + 4x₂ – x₃ +2x₄ -5x₅ max;

Чтобы построить задачу, двойственную к данной, упорядочим исходную задачу. Так как требуется найти максимум целевой функции, то ограничения-неравенства должны быть запи­саны со знаком ≤. Умножив третье неравенство на (-1), приве­дем систему ограничений к виду (1):

Двойственная задача будет иметь четыре переменные y₁, y₂, y₃ , y₄, так как исходная задача содержит четыре ограничения. В соответствии с указанными правилами запишем двойственную задачу:

F = 12y₁ -10y₂ +15y₃ +11y₄ min;

Второе и пятое ограничения двойственной задачи записаны в виде равенства, так как на соответствующие им переменные x₂ и x₅ в исходной задаче не наложено условие неотрицательности. На переменные y₁, y₂, y₃ наложено условие неотрицательности в связи с тем, что в исходной задаче, приведенной к виду (1), им соот­ветствуют ограничения-неравенства.