4. Функция регрессии и ее физическая интерпретация.

ξ₁ и ξ₂ – две случайные величины (в общем случае они зависимы). В результате опыта получается два значения x₁ и x₂, причем x₁ мы наблюдаем, а x₂ нам не доступно. Вопрос в том, как оценить x₂ по наблюдению x₁: найти ^x₂ = g(x₁) с минимальной ошибкой.

Функция регрессии – зависимость среднего значения одной величины от значения другой величины.

урожайность

g(x₁)

количество осадков

x₁

x₂ - ^x₂ = x₂ – g(x₁) – ошибка.

Если x₁ фиксировано, то ξ₂ – g(x₁) – ошибка.

Условная дисперсия: σ²(x₁) = (ξ₂ – g(x₁))².

Полная дисперсия: σ² = ∫σ²(x₁)ω(x₁)dx₁ = ∫∫(x₂ – g(x₂))² ω(x₁)ω(x₂|x₁)dx₁dx₂ , ω(x₁)ω(x₂|x₁) = ω(x₂,x₁).

Решение: g(x₁) = ∫x₂ ω(x₂|x₁)dx₂ = m(x₁) – функция регрессии.

Задача сводится к нахождению g(x), у которой дисперсия σ² минимальна для любых x.

5. Понятие статистической зависимости. Условные вероятности. Необходимое и достаточное условие независимости событий.

• Если p(A) зависит только от комплекса условий D, тогда p(A) при заданном D является полной и безусловной.

• Если B влияет на D, тогда p(A) зависит от B, это условная вероятность.

p(A|B) – вероятность события А при условии В.

В влияет не на А, а на р(А) через комплекс условий D.

• A зависит от В, если р(А) зависит от появления В.

А НЕ зависит от В, если р(А|В) = р(А).

П ример:

Есть огромная мишень, мы в нее стреляем. Каждая точка (попадание) – элементарное событие. Промахнуться мы не можем. У нас 1 кг пуль. В А попало 200 г, в В – 300 г, АВ – 50 г.

р(А) = 200/1000, р(В) = 300/1000, р(АВ) = 50/1000.

р(А|В) = 50/300 – вероятность события А, при том что В уже произошло. р(В|А) = 50/200.

р(А|В) = р(АВ)/р(В) – условная вероятность.

р(АВ) = р(В)р(А|В) = р(А)р(В|А) – формула умножения вероятностей.

Из формулы умножения вероятностей и определения независимости (А НЕ зависит от В):

р(АВ) = р(А)р(В) – необходимое и достаточное усл. независимости событий («вероятн произведения = произведению вероятностей»).

НЕпересекающиеся события ЗАВИСИМЫ.

О пересекающихся же нельзя сказать заранее зависимы или нет, но они точно СОВМЕСТНЫ.

Если события попарно независимы, это еще не значит, что они независимы в совокупности.

5. Кумулянтная функция и её свойства.

Кумулянтная функция – ψ(u) = ln Θ(u)

Свойства:

1. Кумулянтная функция суммы равна сумме кумулянтных функций. ψ_η(u) = ψ_ξ1(u) + ψ_ξ2(u), где η = ξ₁ + ξ₂

2)

_{u = 0}

_{u = 0 u = 0}

æ_k , где æ_k - кумулянт

æ_kη = æ_kξ1 + æ_kξ2 (кумулянт суммы равен сумме кумулянтов).

3) Если η = сξ, то Θ_η(u) = Θ_ξ(cu) и ψ_η(u) = ln Θ_ξ(cu), а æ_kη = с^kæ_kξ

4) Кумулянты и моменты:

m₁ = æ₁

m₂ = æ₂ + æ₁²

m₃ = æ₃ + 3 æ₁ æ₂ + æ₁³

æ₁ = m₁

æ₂ = m₂ - m₁² = μ₁ = D

æ₃ = m₃ - 3m₁m₂ + 2m₁³ = μ

Пример:

ω(x) =	{	(1/a)e-(x/a) , x ≥ 0
		0 , x < 0

, и по формуле , где a^kk! = m_k

, где æ_k = a^k(k – 1)! – кумулянт