Задание №3

В результате 6%-ного выборочного обследования успеваемости студентов университета по результатам летней экзаменационной сессии получены следующие данные методом случайного бесповторного отбора: Оценка в баллах	2	3	4	5	Итого:
Число студентов	28	70	90	12	200

Определите по университету в целом:

1. С вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний балл успеваемости;

2. С вероятностью 0,997 пределы, в которых находится доля студентов, получивших неудовлетворительную оценку.

Сделайте выводы.

Решение

Определим с вероятностью 0,954 пределы, в которых находится средний балл успеваемости.

Средний балл успеваемости найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

(2*28+3*70+4*90+5*12) / 200 = 3,43 балла.

Зная численность выборки (n = 200 человек) и численность генеральной совокупности (N = 3333 чел., т.к. 200 человек - это единицы из 6%-ного обследования, то N=200*100/6), коэффициент доверия t=2 (при вероятности Р=0,954) вычислим предельную ошибку для среднего балла успеваемости по формуле:

(7)

Необходимо рассчитать среднее квадратическое отклонение (формулы в задаче №2).

Расчет дисперсии ( ) проведем на основе данных таблицы 6. Промежуточные расчеты оформим в графах 4, 5, 6.

Таблица 6. Данные для расчета дисперсии среднего балла успеваемости

Баллы успеваемости по группам ( )Число студентов ( )
2	28	2-3,43=-1,43	2,0449	57,2572
3	70	3-3,43=-0,43	0,1849	12,943
4	90	4-3,43=0,57	0,3249	29,241
5	12	5-3,43=1,57	2,4649	29,5788
Итого	200	-	-	129,02

Находится дисперсия ( ) по формуле:

= 129,02 / 200 = 0,64.

=2* балла.

Вычислим пределы среднего балла:

. (8)

,43 - 0,11 ≤ 3,43 ≤ 3,43+0,11

,32 ≤ 3,43 ≤ 3,54

При заданной вероятности коэффициент доверия t = 2. Из условия определим долю студентов, получивших неудовлетворительную оценку, в общем количестве (частость W):

W = m / n = 28 / 200 = 0,14, или 14%.

Зная численность выборки (n = 200 человек) и численность генеральной совокупности (N = 3333 человек, исходя из того, что это 6%-ная выборка), коэффициент доверия t = 2 (при вероятности Р=0,954), вычислим предельную ошибку выборки для генеральной доли студентов с неудовлетворительной оценкой ( ) по формуле:

. (9)

или 4,8%.

Определим пределы удельного веса студентов с отметкой неудовлетворительно:

. (10)

,14 - 0,048 ≤ р ≤ 0,14 + 0,048

,092 ≤ р ≤ 0,188

,2% ≤ р ≤ 18,8%.

Ответ: с вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно гарантировать, что доля студентов с оценкой неудовлетворительно будет находиться в пределах от 9,2% до 18,8%. С вероятностью 0,954 (т.е. в 954 случаях из 1000) можно утверждать, что средний размер балла колеблется от 3,32 до 3,54.