5;Plot(f)

возмущений просто не видно (масштаб f забил их), а в U они отразились слишком сильно. Но формально он не противоречит оценке, связанной с числом обусловленности c(A). Действительно, без учета профиля df максимальная ошибка me вычисляется как

6;sp=eig(A); me=min(abs(sp))^(-1)*max(g)

и равна 0.6064, тогда как

7;max([ua-ut;ut-ui]) (=0.5180)

и лишь немного подрастет с увеличением n (при n=100 это 0.5540), т.е. не превзойдет значения me, что и свидетельствует о формальной согласованности обоих методов оценки погрешности. Чтобы окончательно избавиться от ощущения какой-то несогласованности наших методов, применим критерий cond(A) для среднеквадратичной нормы. Для этогог нам нужно пройтись по всем столбцам k=1:n (сейчас n=30) матриц U и F и вычислить

max( (norm(du)/norm(u)) / (norm(df)/norm(f)) ) .

Запишем это в виде (максимально используйте карман при наборе строк)

8;max((sum((U-ut(V)).^2).^.5./sum(U.^2).^.5)./(sum((F-f(V)).^2).^.5./sum(F.^2).^.5))

и получим 3.6484e+3, что меньше c(A)=6.6040e+3, так что и здесь мы не обнаружили противоречия.

Если подойти к оценке погрешности упрощенно, построив график

9;gm=max(g); plot(A\[f-gm,f,f+gm])

то все три линии на нем практически совпадут. Таким способом можно моделировать ошибку, если преобразование A^-1 монотонно, т.е. если при f₁<f₂ обязательно u₁<u₂ или, наоборот, обязательно u₁>u₂. Но у нас это не так: на графике (эта строка получается из строки 9)

10;gm=100*max(g);plot(A\[f-gm,f,f+gm])

желтая линия (она соответствует решению для правой части f-gm<f) то выше, то ниже фиолетовой. Именно из-за немонотонности преобразования A^-1 получается такой заметный разброс в U. С помощью этого приема можно быстро выяснить монотонность преобразования y=Q(x) (не обязательно линейного), что далеко не всегда удается определить теоретически: если все отклики Y=Q(X), x-a<X<x+a, a>0, лежат между Q(x-a) и Q(x+a), то преобразование Q монотонно, и нужно лишь взять значение a таким, чтобы результат был виден на графике (для этого нам пришлось увеличить max(g) в 100 раз).

6.Посмотрим, как изменятся результаты нашего примера при увеличении m - порядка матрицы A. Выполним, не меняя смысла задачи, отредактированную строку 1 предыдущего примера

1;clear all, hx=.01; x=1:hx:5; A=toeplitz(exp(x)); ut=sin(x)'; f=A*ut;u=A\f; plot([ut,u]), c=cond(A)

Здесь шаг hx уменьшен в 10 раз, так что теперь порядок m=401 – довольно высокий; c(A)= 6.0804e5 возросло почти в 100 раз, т.е. обусловленность A заметно ухудшилась (примерно в 10² раз), но

2;max(abs(u-ut)) (=1.3153e-9)

еще достаточно мал, хотя и возрос примерно в 10³ раз, т.е. больше, чем c(A). Такое расхождение с теорией как бы предупреждает о том, что даже при сохранении смысла задачи увеличение ее размерности не позволяет автоматически применять критерий числа обусловленности к оценке ошибок округления. К выбору числа m нужно всегда относиться с повышенным вниманием.

Чтобы получить представление о собственных векторах преобразования A, выполним строку

3;[V,D]=eig(A); D=V'*V; m=length(x); D(1:m+1:m^2)=0; mcv=max(abs(D(:)))

и получим mcv=2.2985e-15, т.е. степень ортогональности остается удивительно высокой. Жордановы клетки порядка выше первого могут быть тогда, когда mcv(A)>0.99.

Мы рассмотрели этот пример так подробно, чтобы показать исключительно высокие возможности MATLAB'а в том, что касается анализа результатов.