- •Реферат по надежности
- •События и их виды
- •Ряд распределения дискретной случайной величины
- •Равномерное распределение
- •Экспоненциальное (показательное) распределение
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Математическое ожидание
- •Свойства математического ожидания:
- •Дисперсия случайной величины
- •Свойства дисперсии:
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Литература
- •Реферат
- •Содержание:
- •1. События и их виды
- •2. Вероятность и ее свойства
- •3. Теорема умножения вероятностей
- •4. Теорема сложения вероятностей
- •5. Формула полной вероятности
- •Вероятность гипотез
- •6. Случайные величины. Законы распределения непрерывной и дискретной случайной величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины
- •Закон распределения непрерывной случайной величины
- •Моменты распределения, характеристики закона распределения
- •Для дискретной случайной величины:
- •Для непрерывной случайной величины:
- •События и их виды.
- •Вероятность и ее свойства.
- •Теорема об умножении вероятностей.
- •Теорема о сложении вероятности совместных и несовместных событий.
- •Формула полной вероятности, формула гипотез.
- •Случайные величины. Закон распределения непрерывной и дискретной случайной величины.
- •Моменты распределения, характеристика закона распределения.
- •Литература.
- •Реферат Теория вероятности
- •События и их виды
- •Вероятность и ее виды
- •Теорема об умножении вероятности
- •Теорема о сложении вероятности совместных и несовместных событий
- •Формула полной вероятности. Формула гипотез
- •Случайные величины. Закон распределения непрерывной и дискретной случайной величины
- •Ряд распределения дискретной случайной величины
- •Равномерное распределение
- •Экспоненциальное (показательное) распределение
- •Моменты распределения. Характеристики закона распределения
5. Формула полной вероятности
Следствием обеих основных теорем – теоремы сложения и теоремы умножения вероятностей – является так называемая формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий:
В1, В2,…, Вn ,
образующих полную группу несовместных событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности PB1(A),…, РBn(А) события А. Как найти вероятность события А?
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из событий В1, В2,…, Вn, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А :
Р(А) = Р(В1) РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) + … + Р(Вn) РBn(А).
Вероятность гипотез
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности.
Р(А) = Р(В1) РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) + … + Р(Вn) РBn(А). (*)
Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. По6ставим своей задачей определить, как изменились (В связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности
РА(В1), РА(В2),… РА(Вn).
Найдем сначала условную вероятность РА(В1). По теореме умножения имеем
Р(АВ) = Р(А)РА(В1) = Р(В1)РВ1(А).
Отсюда
Р(В) = Р(В1)РВ1(А)/Р(А)
Заменив здесь Р(А) по формуле (*), получим
РА(В1) = Р(В1)РВ1(А)/Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) + … + Р(Вn)РВn(А)
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы Вi (i = 1, 2, …, n ) может быть вычислена по формуле:
РА(В1) = Р(Вi)РВi(А)/Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) + … + Р(Вn)РВn(А).
Полученные формулы называют формулами Бейеса. Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
6. Случайные величины. Законы распределения непрерывной и дискретной случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Целесообразно различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные возможные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.