3. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и Р_А(В) известны. Теорема умножения дает ответ на вопрос, как найти вероятность совмещения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие А, и событие В?

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

Р(АВ) = Р(А)Р_А(В).

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А, т. е. если Р(А) = Р_В(А), то Р(В) =Р_А(В).

Из следствия 1 вытекает, что зависимость или независимость событий всегда взаимны. В связи с этим можно дать следующее определение независимых событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Следствие 2. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Р(АВ) = Р(А)Р(В).

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так:

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события появились.

Р(А_1,А₂А_3…А_n) = Р(А₁)Р_А1(А₂)Р_А!А2(А₃)…Р_{А1А2…Аn-1}(А_n),

где Р_{А1А2…Аn-1}(А_n) – вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события А₁ А₂ А_3…А_n-1 наступили. В частности, для трех событий

Р(АВС) = Р(А)Р_А(В)Р_АВ(С).

4. Теорема сложения вероятностей

несовместных событий

Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие А, либо событие В. Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий:

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А₁ + А₂ + …+ А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + …+ Р(А_n).

Следствие 1. Если события А₁ А_{2 …}А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующие полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать .

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( )=1

совместных событий

Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пусть события А и В совместны. Как найти вероятность события А+В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В?

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

При использовании полученной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми.

Для независимых событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р(В)

Для зависимых событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А)Р_А(В)