Случайные величины. Закон распределения непрерывной и дискретной случайной величины.
Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Случайные величины, принимающие только отдельные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.
Например, число попаданий при трех выстрелах.
Существуют случайные величины другого типа, например, масса наугад взятого зерна пшеницы, абсцисса точки попадания при выстреле.
Случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).
Табличное задание закона распределения:
xi |
x1 |
x2 |
… |
xn |
pi |
p1 |
p2 |
… |
pn |
Аналитическое задание закона распределения:
Биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли:
k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий
q = 1-p – вероятность не появления событий.
Распределение Пуассона, определяемое асимптотической формулой Пуассона:
Рn(k) = λke-λ/k!
где: λ- интенсивность потока событий.
Геометрическое распределение:
Р(Х = k) = qk-1p
Полагая k = 1,2, … в формуле, получим геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0 < q < 1):
p, qp, q2p, … , qk-1p, …
(p + q)n = pn + npn-1q + … + pkqn-k + … + qn
Гипергеометрическое распределение:
Р(Х = m) = /
Формула определяет распределение вероятностей, которое называют гипергеометрическим.
Графическое задание закона распределения:
Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин.
Интегральная функция распределения позволяет задать как дискретную, так и непрерывную случайную величину.
Интегральная функция распределения (ИФР)– это функция F(x), определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее x, т. е.
График ИФР непрерывной случайной величины:
График
ИФР дискретной случайной величины:
Для описания распределения вероятностей непрерывной случайной величины используется дифференциальная функция распределения.
Дифференциальная функция распределения (ДФР) (или плотность вероятности) – это первая производная от интегральной функции.
Моменты распределения, характеристика закона распределения.
Математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности.
Пусть дискретная случайная величина X может принимать только значения x1, x2,…, xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2,…, pn. Тогда математическое ожидание M(X) случайной величины X определяется равенством
М(Х) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn;
Математическое ожидание непрерывной случайной величины выражается не суммой, а интегралом:
Дисперсия.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.
D(X) = M [X – M(X)]2
Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
.
Среднее квадратическое отклонение.
Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассевания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратичный корень из дисперсии.