5.4. Расчёт и конструирование скатных крыш

Расчёт и конструирование скатной крыши выполним на примере.

Задание: Рассчитать и сконструировать скатную мансардную крышу индивидуального жилого дома по эскизу заказчика, район строительства г. Калининград. Конфигурация крыши должна соответствовать аналогу, представленного на фото 88, несущие стены выполнены из силикатного кирпича без утепления, размеры здания в осях 12*18 м., перекрытие из сборных железобетонных пустотных плит типа ПК. Вопросы, возникающие в процессе проектирования решаются (согласовываются) с заказчиком (преподавателем).

Фото 88

Решение:

1.Проанализировав фотоснимок, приходим к выводу: что наиболее подходящим для нас конструктивным решением может быть французский вариант (рис. 131а).

8800

7,65

9000

12000

3,6

5,55

3,0

α

α

Произведя необходимые вычисления, проставим полученные результаты на схему, углы наклона крыши при этом будут соответствовать 60⁰ на более крутом скате и 25⁰ на пологом скате. Размеры поперечного сечения стоек предварительно принимаем

100*100 мм, сечение мауэрлата 150*150 мм.

Площади мансардных помещений принимаем 3/4 от площадей ниже лежащих этажей, что будет соответствовать размеру в поперечном сечении 9000 мм.

2. Принимаем конструктивную схему вентиляции стропильной конструкции с двойным проветриванием, как наиболее эффективной, с выводом воздуха через коньковые отверстия (рис.113 в)

П редварительно принимаем материалы для назначения конструктивных слоёв кровли:

- металлочерепица толщиной 0,5 мм

- несущие конструкции стропильной стропильной системы будем выполнять из сосны второго сорта

- утеплитель будем располагать между стропилами и поверх них по расчёту

- защиту от проникновения паров и конденсационной влаги выполним из соответствующих плёнок

- внутреннюю обшивку выполним из гипсокартонных листов

- высоту стропильной ноги предварительно назначим в соответствии с сортаментом пиломатериалов

равной 175 мм, ширину – 60 мм.

3. Принимаем конструктивные слои кровельной конструкции.

Предварительно проанализировав возможные варианты, принимаем решение в пользу ниже приведённой схемы (рис.117б)

Где 1 – металлочерепица 0,5 мм

2 – воздушная прослойка 40 мм

3 – низко паропроницаемая плёнка

типа STROTEX 110

4 – воздушная прослойка 25 мм

5 – утеплитель типа УРСА

скатная крыша 150 + 50 мм

далее следует слой пароизоляции из

низко паропроницаемой плёнки,

воздушная прослойка 25 мм и

обшивка из гипсокартонных листов

толщиной 12 мм.

4. Производим теплотехнический расчёт.

Теплотехнический расчёт выполним в двух направлениях: первое – утеплитель располагается между стропильных ног, второе – в направлении стропильных ног (эти направления помечены стрелками на рисунке)

- из приложения 3 выбираем коэффициенты теплопроводности материалов:

λ₁ – 58, металлочерепица

λ₂ – 0,16; воздушная прослойка толщиной до 40 мм

λ₃ – 0,048; утеплитель Урса толщиной 150 + 50 мм

λ₄ – 0,36; гипсокартонная плита толщиной 12 мм

λ₅ – 0,18; сосна с высотой стропильной ноги 175 мм

- выполним теплотехнический расчёт в направлении, когда утеплитель расположен между стропильными ногами:

R_пр = 1/α_int + R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + 1/α_ext = 1/α_int +δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃ + δ₄/λ₄ + 1/α_ext =

= 1/8,7 + 0,0005/58 + 0,05/0,16 + 0,04/0,16 + 0,2/0,048 + 0,025/0,16 + 0,012/0,36 +

+ 1/23 = 0,11 + 0 + 0,56 + 4,17 + 0,16 + 0,03 + 0,04 = 5,07 Вт/м^{2 0}С

где, α_int = 8,7 – коэффициент теплоотдачи, принимаемый по табл. 18

α_ext = 23 – коэффициент теплоотдачи, принимаемый по табл. 30

R_reg = 4,02 – приведённое (нормируемое) термическое сопротивление для мансард, принимаем по табл. 29 или приложению 2.

Следовательно, в расчётном направлении требуемое сопротивление теплопередачи ограждающей конструкции мансарды выполняется.

- выполним теплотехнический расчёт во втором направлении, в направлении стропил:

R_пр = 1/α_int + R₁ + R₂ + R₄ + R₅ + 1/α_ext = 1/α_int + δ₁/λ₁+ δ₂/λ₂ + δ₄/λ₄+ δ₅/λ₅ + 1/α_ext =

= 1/8,7 + 0,005/58 + 0,05/0,16 + 0,175/0,18 + 0,012/0,36 + 0,04 =

= 0,11 + 0 + 0,31 + 1,0 + 0,03 + 0,04 = 1,49 Вт/м^{2 0}С

Следовательно, в направлении расположения стропил, термическое сопротивление ограждающей конструкции не обеспечивает требуемого показателя (R_reg = 4,02 Вт/м^{2 0}В)

ВЫВОД: Расчёты термического сопротивления ограждающей конструкции при расположении утеплителя между стропильных ног следует производить в двух направлениях. Наиболее часто встречающаяся ошибка – проектировщики производят расчёты необходимой толщины утеплителя только в одном направлении.

Следовательно, можно с уверенностью утверждать, что такие расчёты выполнены не совсем корректно, т.е. толщина утеплителя должна быть увеличена со стороны стропильной ноги, либо изменена схема утепления.

5. Определим распределение температур в сечении конструкции.

Граничными условиями являются: температура наружного воздуха – 19⁰ С, температуру внутри помещения принимаем 20⁰ С.Распределение температуры в направлении размещения утеплителя между стропильных ног:

Rт = 1/α_int + R₁ + R₂ + R₃ + R₄ + 1/α_ext = 1/α_int +δ₁/λ₁ + δ₂/λ₂ + δ₃/λ₃ + δ₄/λ₄ + 1/α_ext =

= 1/8,7 + 0,005/58 + 0,05/0,16 + 0,04/0,16 + 0,2/0,048 + 0,025/0,16 + 0,012/0,36 +

+ 1/23 = 0,11 + 0 + 0,56 + 4,17 + 0,16 + 0,03 + 0,04 = 5,07 Вт/м^{2 0}С

τ_в = t_в - (t_в – t_н) / R_тр* α_int = 20 – (20 + 19) /5,07*8,7 = 19,12⁰ С

τ_н = (t_в – t_н) / R_тр* α_ext + t_н = (20 + 19) /5,07*23 – 19 = - 18,7⁰ С

Соответственно перепад температур на границе слоёв будет определяться:

Δt₁ = 39*0/5,07 = 0, Δt₂ = 39*0,56/5,07 = 4,3; Δt₃ = 39*4,17/5,07 = 32,1

Δt₄ = 39*0,03/5,07 = 0,23;

Тогда температура на поверхности слоёв будет равна:

t₁ = - 18,7⁰ С; t₂ = - 14,4⁰ С; t₃ = + 17,7⁰ С; t₄ = 17,5⁰ С.

Даже без построения графика распределения температур, видно, что температура точки росы будет находиться внутри слоя утеплителя, следовательно – утеплитель должен быть надёжно защищён от проникновения паров во внутрь конструкции.

Аналогично следует рассчитать температуру на границе слоёв в направлении стропил.

6. Производим сбор нагрузок в табличной форме на единицу площади кровли

№ п/п	Наименование нагрузки	Плотность материала в кг/м3	Подсчёт в Па qn = ρ*g*t	qn кПа	γf	q кПа
1. Постоянные нагрузки на кровлю
1	Металлочерепица	7850	qn = 7850*10*0,005	0,39	1,05	0,41
2	Обрешётка 50*50 мм с шагом 0,4 м	600	qn = 600*10*0,05*0,05/0,4	0,04	1,2	0,05
3	Контробрешётка 40*50 мм по стропилам с шагом 0,6 м	600	qn = 600*10*0,04*0,05/06	0,02	1,2	0,03
4	Пароизоляция	-	-	0,003	1,2	0,01
5	Утеплитель Урса	20	qn = 20*10*0,2	0,04	1,2	0,05
6	Обрешётка 50*50 по стропилам с шагом 0,6 м	600	qn = 600*10*0,05*0,05/0,6	0,03	1,2	0,04
7	Обрешётка под гипсоплиту 25*50 мм с шагом 0,4 м	600	qn = 600*10*0,025*0,05/0,4	0,02	1,2	0,03
8	Гипсоплита	1100	qn = 1100*10*0,012	0,13	1,2	0,16
Итого:				0,70	-	0,78
2. Временные нагрузки на кровлю
1	Длительная снеговая нагрузка	п.1.7 СНиП 2.01.07-85*	qn = s0 *μ*ϕ = 0,5*1*0,95 = 0,48 в кПа	0,48	1,4	0,67
2	Кратковременная снеговая нагрузка	п. 1.8 СНиП 2.01.07-85*	qn = s0 *μ* = 0,5*0,5*0,9 = 0,23 в кПа	0,23	1,4	0,32
Итого:				0,71	-	0,99
Всего				1,41	-	1,77

Примечание: Шаг установки стропил принят 60 см.

7. Производим сбор нагрузок на п.м стропильной ноги от её собственного веса

q_{n стр} = ρ*g*b*h / 1000 = 600 * 10 * 0,06 * 0,175/1000 = 0,06 кН/м

q _стр = q_{n стр} * γ_f = 0,06 * 1,2 = 0,07 кН/м

8. Производим сбор нагрузок на п.м стропильной ноги с грузовой площади

q_n = q_{n табл} * L_гр + q_{n стр} = 1,41 * 0,6 + 0,06 = 0,91 кН/м (нормативное значение)

q = q_табл * L_гр + q _стр = 1,77 * 0,6 + 0,07 = 1,13 кН/м (расчётное значение)

9. Из расчётной схемы п.1 по теореме Пифагора определим длину стропильной ноги на участке с углом наклона в 25⁰ В нашем расчётном случае это будет составлять 3,8 м.

10. Произведём расчёт стропильной ноги по первой и второй группе предельных состояний, как однопролётную балку, загруженную равномерно – распределённой нагрузкой от собственного веса и веса снега, а также от сосредоточенной нагрузки – создаваемой человеком с инструментом Р = 1,2 кН (120 кг).

Стропила и прогоны скатных крыш расчитываются

Р как косоизгибаемые элементы, оси сечения

g которых расположены наклонно к действующим

нагрузкам. Вертикальная нагрузка при этом

раскладывается на нормальные и скатные

составляющие вдоль осей сечения Х и У.

q_х = q*cos α, q_у = q*sin α, M_x = M*cos α.

Следовательно:

q_х = q*cos α*γ_n = 1,13*cos 25⁰*0,95 = 0,97кН/м

q_у = q*sin α*γ_n = 1,13*sin 25⁰*0,95 = 0,45 кН/м

Определим действующий изгибающий момент в сечении оси Х:

М_х =q_х*L²/8 + Р*L* cos α /4 = 0,97*(3,8)²/8 + 1,2*3,8*0,9063/4 = 2,78 кНм.

11.Принимаем породу древесины – сосна, сорт 2, тогда расчётное сопротивление на изгиб R_и = 13 МПа (1,3 кН/см²) по табл. 3 п.1а СНиП II-25-80 “Деревянные конструкции», к эффициенты условий работы принимаем соответственно равным 1.

тогда: W_х = М_х / R_и = 2,78*100 /1,3 = 213,8 см³

Тогда, из условия: W_х = b*h² / 6, приняв высоту сечения h = 17,5 см.

Находим искомую ширину сечения балки b = 4,2 см.

Следовательно, в соответствии с сортаментом пиломатериалов сечение стропильной ноги предварительно принимаем 50*175 мм.

12.Далее проведём расчёт на скалывание.

В начале, определим геометрические характеристики сечения:

- статический момент сечения S_х = b*h² / 8 = 5*(17,5)² / 8 =191,4 см³

- момент инерции сечения J_х = b*h³ / 12 = 5*(17,5) ³ / 12 = 2233 см⁴

Поперечная сила, возникающая в сечении, определяется по формуле:

Q _х = q_х *L / 2 + P*cos α / 2 = 2,38 кН

Тогда условие прочности на скалывание определяется по формуле:

τ = Q _х * S_х / J_х*b = 2,38* 191,4 / 2233*5 = 0,04 кН/см² ≤ R_ск

где, R_ск = 1,6 МПа (0,16 кН/см²) т. е условие прочности на скалывание выполнено.

13. Величину прогиба стропильной ноги определим из условия:

f = 5 q_n cos α*γ_n *L⁴/ 384 E* J_х + P_n*L³*cosα / 48 E* J_х =

= 5* 0,0091*0,9063*0,95 *(380)⁴ / 384*1000*2233 + 1,0*(380)³*0,9063/

/ 48*1000*2233 = 0,09 + 0,46 = 0,55 см.

Величина относительного прогиба составит: f / L = 0,55 / 380 = 0,0014

Допустимая относительная величина прогиба составляет 1/200 = 0,005.

Следовательно, условие прочности и жёсткости выполнено, принимаем сечение стропильной ноги 50*175 мм, из сосны, сорт 2, условия эксплуатации нормальные.

14. Расчёт обрешётки производится по первой и второй группам предельных состояний (на прочность и прогиб).

При этом различают два расчётных случая:

- 1-й, на прочность и прогиб при одновременном воздействии собственного веса и снеговой нагрузки

- 2-й, только на прочность при воздействии собственного веса и сосредоточенного груза от веса человека.

Обрешётку следует рассматривать как двухпролётную неразрезную балку, шаг пролёта принимается равным шагу установки стропил.

Где, q – нагрузка от собственного веса кровли и снега,

g – нагрузка от собственного веса кровли (соотвествует q_табл)

s – длительная и кратковременная нагрузки от снега (табл. значение)

Р – сосредоточенная нагрузка от веса человека.

Нагрузка от собственного веса кровли:

g = q_табл*L* γ_n* cos α = 0,46*0,6*0,95*0,9063 = 0,25 кН/м (0,46 – п.1 и 2. таблицы)

Нагрузка от собственного веса кровли и снега:

q = (g + s)* L* γ_n* cos α = 1,45*0,6*0,95*0,9063 = 0,75 кН/м

Нагрузка от собственного веса человека с инструментом Р = 1,2 кН.

Максимальный изгибающий момент для первого расчётного случая будет равен:

М₁ =q*L²/8 = 0,75*(0,6)²/8 = 0,034 кНм

Максимальный изгибающий момент для второго расчётного случая будет равен:

М₂ = 0,07g* L² + 0,21Р L* γ_n* cos α = 0,07*0,25*(0,6)² + 0,21*1,2*0,95*0,9063 = 0,22 кНм

Наиболее невыгодным расчётным случаем загружения является второй

М_max = 0,22 кНм

Тогда изгибающие моменты относительно осей брусков обрешётки будут равны:

М_x = М_max* cos α = 0,22*0,9063 = 0,20 кНм

М_у = М_max * sin α = 0,22*0,4226 = 0,09 кНм

15. Определяем геометрические характеристики брусков обрешётки, предварительное сечение принято 50*50 мм.

W_x = W_у = b*h² / 6 = 5*5² / 6 = 20,83 см³

J_x = J_у = b* h³ / 12 = 5*5³ /12 = 52,08 см⁴

16. Производим проверку прочности бруска обрешётки из условия:

σ = М_x / W_x + М_у / W_у ≤ R_и * γ₂

σ = 0,2*100 /20,83 + 0,09*100 / 20,83 = 0,96 + 0,43 = 1,39 кН/см²

R_и * γ₂ = 1,3*1,2 = 1,56 кН/см²

Где, γ₂ – коэффициент, учитывающий кратковременность приложения нагрузки при расчёте по второму случаю, принимается равным 1,2;

При расчёте по первому случаю коэффициент принимается - 1,15.

Следовательно, условие прочности выполнено, принимаем сечение обрешётки

50*50 мм из сосны, сорт 2.

17. Определение прогиба бруска производим для первого расчётного случая в направлении осей Х и У.

f_у = 2,13q_n * sin α * L⁴ / 384* E* J_у = 2,13*0,0043*0,4226*60⁴ / 384*1000*52,08 = 0,003 см

f_x = 2/13q_n * cos α * L⁴ / 384* E* J_x = 2,13*0,0043*0,9063*60⁴ / 384*1000*52,08 = 0,005 см

Где, q_n = q_{n табл} * L_гр * γ_n = 1,14*0,4*0,95 = 0,43 кН/м (0,0043 кН/см)

L_гр = 40 см – шаг установки обрешётки (поперечных брусков)

Полный прогиб бруска в вертикальной плоскости определяется как:

f² = f_x² + f_у² = (0,005)² + (0,003)² = 0,0 см.

Отсюда, f = 0,0 см.

Величина предельного прогиба для обрешётки принимается по табл.16 СНиП II-25-80

«Деревянные конструкции» и равна 1/150, т.е соответствует 0,0067, в нашем расчётном случае требование СНиП выполняется.

В СНиП 2.01.07-85* «Нагрузки и воздействия» в табл. 19 величина прогиба балок до 1 м. принимается равной L / 120, т.е допустимая величина прогиба устанавливается не более 60/120 = 0,5 см.

В данном случае расчёт должен производиться на действие постоянных и длительных нагрузок (в нашем случае расчёт производился и с учётом кратковременных нагрузок), условие прочности по предельной деформации (прогибу) выполняется.

Вывод:

1. Стропильную ногу принимаем в соответствии с полученными расчётами сечением 100*175 мм из сосны второго сорта.

2. Обрешётку принимаем сечением 50*50 мм из сосны второго сорта.

3. Прогоны принимаются сечением 100*100 мм в нашем случае расчёты не производились.

4. Стойки принимаются сечением 100*100 мм (или 150*150 мм) как правило, запас прочности здесь значительный.

Примечание: В случае использования кровельного покрытия из рулонных материалов или битумной черепицы, следует производить расчёт сплошного настила. Расчёт сплошного настила производится аналогично расчёту обрешётки.

18. Далее следует произвести раскладку стропильных ног (составить план крыши) и произвести подсчёт потребности пиломатериалов (составить спецификацию). Все необходимые размеры следует строго увязывать с действующим сортаментом пиломатериалов по ГОСТ 244454-80.