3.1.11 Диференційні рівняння масопередачі

3.1.11.1 Диференційне рівняння молекулярної дифузії

Розглянемо елементарний об'єм dx, dy, dz в нерухомому середовищі, або в рухомому ламінарному потоці, через ребра якого за час dτ проходить деяка маса речовини.

Нехай через всі три грані входить в даний об'єм , відповідно , Мх, Му, Mz речовини за час dτ, рис. 3.11.

Z

Y

X

Mz

Mx

My

My+dy

Mz+dz

Mx+dx

Рис. 3.11 До виведення диференційного рівняння молекулярної дифузії

Позначимо концентрацію цільового компонента на лівій вертикальній грані – с, а на правій грані вздовж осі ОХ з урахуванням зміни концентрація цільового компонента буде , рис. 3.11.

Тоді за час d через поверхню dF=dydz, розташовану перпендикулярно напрямку дифузійного потоку вздовж осі Х кількість речовини, що продифундує до елементарного об’єму згідно першого закону Фіка запишеться, як

Вздовж осі Х:

Вздовж осі Y:

Вздовж осі Z:

Через протилежні грані елементарного об’єму, кількості речовини, що виводиться з елементарного об’єму, позначимо: М_{х + dx}; М_{у + dy}; М_{z+ dz}.. Тоді вздовж осі Х через грань dydz виходить кількість речовини:

Отже, за час dτ в елементі dxdydz збільшується маса речовини на величину вздовж осі Х, яка визначиться за виразом:

Аналогічно визначається збільшення маси речовини вздовж інших осей в елементарному об’ємі:

Тобто, збільшення маси речовини по трьом осям становить :

dM = dM_x + dM_y+ dM_z, або

(3.74)

З іншої сторони, за час dτ концентрація зміниться на величину - Отже, приріст у елементарному об'ємі дорівнює:

(3.75)

Прирівнюючи праві частини рівнянь (1.74) і (1.75), отримаємо диференціальне рівняння молекулярної дифузії:

(3.76)

3.11.2 Диференціальне рівняння конвективної дифузії. Другий закон Фіка

Розглянемо перенос речовини за рахунок конвективної дифузії велементарному об'ємі, рис. 1.12.

Рис. 3.12 До виведення диференційного рівняння конвективної дифузії

Позначимо концентрацію речовини на лівій грані С, тоді на правій грані, з врахуванням приросту концентрації буде: (вздовж осі Х), відповідно зміна швидкості потоку вздовж осі х: на лівій грані: W_x і на правій:

Таким чином, через грань dydz вздовж осі Х, кількість речовини, яка надходить за рахунок конвективного переносу за час dτ дорівнює:

М_х(к)=W_xcdydzdτ

Через праву грань відводиться за рахунок конвективної дифузії кількість речовини:

M_{x + dx(к)} =

Приймаємо, що

,

Враховуючи, що

Остаточно вираз для M_{x + dx(к)} =

Зміна маси в елементі вздовж осі X складе:

Аналогічно можна записати можна записати зміну маси в елементарному об’ємі

вздовж осей Y і Z.

Тоді загальна зміна маси в елементарному об’ємі за рахунок конвективної дифузії запишеться, як:

dM=dM_x+dM_y+dM_z= ,

або в розгорнутому вигляді

(3.79)

Для усталеного потоку справедливо:

(3.80)

Тоді рівняння (3.79) набуває вигляду:

(3.81)

Кількість цільового компонента, який надходить до елементарного об’єму за рахунок конвективної дифузії, повинна бути відведена через грані елементарного об’єму за рахунок молекулярної дифузії, тобто повинна виконуватись умова:

(3.82)

В іншому випадку концентрація цільового компонента в довільній точці об’єму dV була б змінною в часі, в той час, коли в усталеному процесі вона є тільки функцією координат, тобто

с = f (x, y, z)

Таким чином,

,

Тобто, виконавши відповідну підстановку, одержимо:

(3.83)

або в стислій формі:

Рівняння (3.83) являє собою дифференційне рівняння конвективної дифузії.

Рівняння виражає закон розподілення концентрації цільового компонента при усталеному процесі масообміну.

Для неусталеного процесу масообміну (але здійснюється в умовах стаціонарного руху фази), коли , права частина рівняння (3.83) повинна бути доповнена , яка виражає локальну зміну концентрації в часі. Тоді рівняння (3.83) набуває вигляду:

(3.84)

При масообміні в нерухомому середовищі W_x = W_y = W_z = 0 і рівняння конвективної дифузії перетвориться в рівняння молекулярної дифузії

або

Це рівняння має назву другого закону Фіка.

Термодифузія.

При наявності перепаду температур у фазі виникає перенос маси, зумовлений градієнтом температур, який називається термодифузією.

В цьому випадку більш важкий компонент переміщається в напрямку градієнту температур, тобто в частину об’єму, що має меншу температуру, а більш легкий компонент – в протилежному напрямку. В результаті біля холодної поверхні фаза збагачується більш важким компонентом, а біля нагрітої – більш легким компонентом. Це явище спостерігається при сушінні і ефективно застосовується при одержанні ізотопів.