Лекция 8. Уравнение линейной регрессии

8.1. Анализ статистической взаимосвязи между двумя рядами

Данный этап служит для оценки степени тесноты и направления связи между и по их рядам наблюдений и включает следующее:

- вычисление линейного коэффициента парной корреляции;

- заключение о значимости коэффициента корреляции по -критерию Стьюдента;

- выдачу рекомендации о тесноте и характере связи между и .

Вычисление линейного коэффициента парной корреляции осуществляется по следующей формуле:

где и – среднее, вычисленное по рядам наблюдений соответственно и .

По величине коэффициента корреляции можно количественно оценить тесноту связи

1. Если или то между рядами наблюдений существует сильная связь (связь значима).

2. Если то между рядами наблюдений связь практически отсутствует (связь незначима).

3. Если или , то заключение о тесноте связи необходимо осуществить по -критерию Стьюдента.

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением (уменьшением) значений фактора происходит увеличение (уменьшение) значений отклика . При обратной связи значения отклика изменяются под воздействием фактора , но в противоположном направлении по сравнению с изменением значений фактора . Характер направления оценивается по знаку коэффициента корреляции. Если , то связь прямая; если , то связь обратная.

Заключение о тесноте связи по -критерию Стьюдента осуществляется следующим образом. Сначала вычисляется значение -критерия Стьюдента по следующей формуле:

где число степеней свободы; количество наблюдений.

Затем на основании заданных уровня значимости (обычно, или ) и числа степеней свободы определяется табличное значение распределения Стьюдента из специальных таблиц. В зависимости от полученных значений и формулируется заключение о характере связи между и в следующем виде:

- если , то при уровне значимости – связь значима. Есть основание для связи между и .

- если , то при уровне значимости связь незначима. Нет оснований для связи между и .

8.2. Построение модели парной регрессии

Построение уравнения регрессии (1) сводится к оценке (расчету) ее параметров (коэффициентов) и Для оценки параметров уравнения регрессии используют метод наименьших квадратов (МНК). Сущность МНК заключается в нахождении параметров модели, при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений отклика от теоретических, вычисленных по модели. Сказанное можно записать в следующем виде:

Нахождение коэффициентов уравнения регрессии по МНК производится из системы нормальных уравнений. Данную систему получают путем приравнивания нулю всех частных производных функции . В качестве аргументов функции рассматриваются коэффициенты уравнения регрессии.

Для уравнения формула регрессии примет следующий вид :

Дифференцируя функцию по параметрам и , получаем

Отсюда система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:

Решая систему относительно и получаем следующие формулы:

где соответствующие средние.