Пример 1

Выборка из 50 испытуемых была обследована с помощью психологического теста по пяти показателям интеллекта:

1. устный счет;

2. продолжение числовых рядов;

3. осведомленность;

4. словарный запас;

5. определения сходства.

Были вычислены коэффициенты корреляции для всех пар показателей. В результате анализа корреляций, все показатели оказались статистически взаимосвязанными на уровне значимости p<0,05, кроме показателя 1 и 4, где к=0,23 (коэффициент корреляции). Близких к 1 коэффициентов корреляции не получилось. По этим результатам была составлена исходная матрица корреляций.

Таблица 1

Матрица корреляций пяти показателей интеллекта.

№	Показатели	1	2	3	4	5
1	Счет в уме	1,00	0,88	0,33	0,23	0,42
2	Числовые ряды	0,88	1,00	0,32	0,24	0,35
3	Осведомленность	0,33	0,32	1,00	0,58	0,54
4	Словарный запас	0,23	0,24	0,58	1,00	0,54
5	Сходство	0,42	0,35	0,58	0,54	1,00

Таблица 2

Факторные нагрузки после варимакс-вращения

Исходные переменные	Факторные нагрузки		(общность)
	F1	F2
1	0,97	0,20	0,99
2	0,86	0,20	0,78
3	1,18	0,76	0,62
4	1,09	0,74	0,56
5	1,06	0,69	0,55
Собственное значение	1,79	1,70	3,5
Доля дисперсии	0,36	0,34	0,7

В результате применения факторного анализа выделилось два фактора (

и ). По фактору максимальные нагрузки (0,97 и 0,86) имеют 1 и 2 показатели. По фактору максимальные нагрузки имеют показатели 3,4,5.

Перейдем к интерпретации двух полученных факторов. Переменные 1–устный счет и 2–продолжение числовых рядов можно называть словом «математические способности». Фактор идентифицируется как «математические способности».

Переменные 3,4,5(словарный запас, осведомленность, сходство понятий) – определяют словесные понимания испытуемого. Поэтому фактор идентифицируется как «вербальные способности». Таким образом мы сократили число переменных с 5 до 2 и выявили два скрытых за взаимосвязью пяти признаков фактора.

5. Метода факторного анализа

Методы факторного анализа — это различные способы получения фак­торной структуры при заданном числе факторов. Эти способы, как уже гово­рилось, отличаются решением проблемы общностей. Рассмотрим наиболее часто применяемые методы: анализ главных компонент, метод главных фак­торов, факторный анализ образов (общности равны квадрату КМК), метод, не взвешенных наименьших квадратов, обобщенный метод наименьших квад­ратов и метод максимального правдоподобия.

Анализ главных компонент (Principal Components) иногда используется в ка­честве факторного анализа, хотя это и не вполне корректно. При использова­нии этого метода общность каждой переменной получается автоматически, путем суммирования квадратов ее нагрузок по всем главным компонентам. Вопрос о приближении восстановленных коэффициентов корреляции к ис­ходным корреляциям не решается. В результате факторная структура иска­жается в сторону преувеличения абсолютных величин факторных нагрузок.

Факторный анализ образов (общности равны квадрату КМК) (Image Facto­ring) — это метод главных компонент, применяемый к так называемой реду­цированной корреляционной матрице, у которой вместо единиц на главной диагонали располагаются оценки общностей. Общность каждой переменной оценивается предварительно, как квадрат коэффициента множественной корреляции (КМК) этой переменной со всеми остальными. Такая оценка, с точки зрения теоретиков факторного анализа, приводит к более точным ре­зультатам, чем в анализе главных компонент. Но значения общностей недо­оцениваются, что также приводит к искажениям факторной структуры, хотя и меньшим, чем в предыдущем случае.

Метод главных осей (Principal Axis Factoring), позволяет получить более точ­ное решение. На первом шаге общности вычисляются по методу главных ком­понент. На каждом последующем шаге собственные значения и факторные нагрузки вычисляются исходя из предыдущих значений общностей. Оконча­тельное решение получается при выполнении заданного числа итераций или достижении минимальных различий между общностями на данном и преды­дущем шагах.

Метод не взвешенных наименьших квадратов (Inveighed least squares) — минимизирует квадраты остатков (разностей) исходной и воспроизведенной корреляционных матриц (вне главной диагонали). На первом шаге оценива­ются общности через квадрат КМК. Затем вычисляется факторная структура, и восстанавливаются коэффициенты корреляции. Проверяется разность квад­ратов исходных и вычисленных корреляций. За новые значения общностей принимаются вычисленные по полученной факторной структуре. На втором шаге вычисляется новая факторная структура, и снова проверяется соответ­ствие исходных и восстановленных коэффициентов корреляции. Процесс повторяется многократно до тех пор, пока не достигается минимально воз­можная разница между исходными и вычисленными корреляциями при за­данном числе факторов. Метод, по определению, дает минимальные ошибки факторной структуры при фиксированном числе факторов.

Обобщенный метод наименьших квадратов (Generalized least squares) — отли­чается от предыдущего тем, что для каждой переменной вводятся специаль­ные весовые коэффициенты. Чем больше общность переменной, тем в боль­шей степени она влияет на факторную структуру (имеет больший вес). Это соответствует основному принципу статистического оценивания, по которо­му менее точные наблюдения учитываются в меньшей степени. В этом — ос­новное преимущество этого метода перед остальными.

Метод максимального правдоподобия (Maximum likelihood) также направлен на уменьшение разности исходных и вычисленных корреляций между при­знаками. Дополнительно этот метод позволяет получить важный показатель полноты факторизации — статистическую оценку «качества подгонки». Ме­рой качества является оценка различия исходных и вычисленных коэффици­ентов корреляции по х²-критерию, значимость которого определяется в за­висимости от числа факторов и количества переменных.

Вряд ли возможно дать общие рекомендации о преимуществе или недо­статке того или иного метода. Можно лишь отметить, что анализ главных ком­понент дает наиболее грубое решение, а метод максимального правдоподо­бия позволяет статистически оценить минимально возможное число факторов для данного набора переменных. По-видимому, в каждом конкретном случае стоит сравнивать результаты применения разных методов и выбирать тот, ко­торый позволяет получить наиболее простую и доступную интерпретации факторную структуру.