Задание 1.6.
а) найти остаток от деления 2100 на 3.
Решение.
1-й способ:
2 делится на 3 с остатком 2, 22
делится на 3 с остатком 1. При дальнейшем
возведении двойки в степень остатки от
деления будут чередоваться: 2, 1, 2, 1, 2 …
. Значит, в силу четности степени 100
остаток от деления требуемого числа на
3 будет равен 1.
2-й способ –
методом сравнений, по аналогии с примером
1.6:
;
б) найти остаток
от деления 
на 7.
Решение. Заменим каждое число на его остаток от деления на 7:
_1989 | 7 _1990 | 7 1991 = 7 ∙ 284 + 3;
14 | 284 14 | 284
_58 _59 1992 = 7 ∙ 284 + 4.
56 56
_29 _30
28 28
1 2
1 ∙ 2 ∙ 3 + 43 = 6 + 64 = 70. 70 : 7 = 10. Следовательно, остаток равен нулю;
в) найти остаток
от деления
на 8.
Решение.
Заменим 9 на его остаток 1 от деления на
8. Имеем
.
Значит, остаток от деления
на 8 равен 1;
г) найти остаток
от деления
на 7.
Решение.
3 делится на 7 с остатком 3.
делится на 7 с остатком 2. Далее достаточно
на 3 умножить только остаток и сделать
выводы.
делится
на 7 с остатком 6,
делится на 7 с остатком 4,
делится на 7 с остатком 5,
делится на 7 с остатком 1,
делится на 7 с остатком 3. Получили один
из предыдущих остатков, значит
«зациклились». Число
дает
тот же остаток деления на 7, что и 31.
Значит, длина цикла равна 6.
.
Число
дает тот же остаток от деления на 7, что
и
,
т. е. 6.
Индивидуальные задания для лабораторной работы №1 «Теория чисел»
1. Найти канонические разложения чисел а и b.
2. Найти НОД 
,
воспользовавшись:
a)
алгоритмом Евклида; б) разложением чисел
на простые множители.
3. С помощью расширенного алгоритма Евклида найти целые u, v,
удовлетворяющие
соотношению Безу:
4. Записать в -ичной, 16-ричной и двоичной системах счисления десятичное число .
5. Вычислить …
в
16-ричной системе счисления.
6. Найти остаток от деления данного числа на простое число.
Вариант 1.
1–3.
101398751,
326147777.
4.
5. Определитель
6. Остаток от деления
на 29.
Вариант 2.
1–3.
5999801,
48685811.
4.
5. Решить систему
уравнений
6. Найти остаток
от деления
на 17.
Вариант 3.
1–3.
660422941,
36481301. 4.
5. Решить систему
уравнений
6. Найти остаток
от деления
на 17.
Вариант 4.
1–3.
9002242397,
433817903.
4.
5. Вычислить произведение двух матриц:
.
6. Найти остаток
от деления
на 19.
Вариант 5.
1–3.
9118515943,
3386496689. 4.
5. Вычислить произведение двух матриц
6. Найти остаток
от деления
на 23.
Вариант 6.
1–3.
5336161097,
196210799.
4.
,
73425826.
5. Вычислить
определитель
.
6. Найти остаток от деления на 19.
Вариант 7.
1–3.
7049964661,
168687989. 4.
,
93475825.
5. Вычислить
определитель
.
6. Найти остаток
от деления
на 17.
Вариант 8.
1–3. 83748733, 73435591. 4. , 86425836.
5. Вычислить
определитель
.
6. Найти остаток
от деления
на 11.
Вариант 9.
1–3. 16254559, 1029073. 4. , 86425836.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на 19.
Вариант 10.
1–3.
6099377,
9568217. 4.
,
87625859.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на 17 числа.
Вариант 11.
1–3. 7957549, 23118553. 4. , 89605809.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на
19.
Вариант 12.
1–3. 16088437, 18216949. 4. , 38615802.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на
16.
Вариант 13.
1–3. 244604911, 61875907. 4. , 79605819.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на
17.
Вариант 14.
1–3. 356216713, 31238065. 4. , 85678539.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на 19.
Вариант 15.
1–3.
7409621,
6793883. 4.
9605801.
5. Вычислить
произведение
.
6. Найти остаток
от деления
на
29.