Практическая работа №2. Оптимизация плана выпуска продукции методом линейного программирования

Линейное программирование (ЛП), изучает методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием оптимальности.

Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

В общем виде модель записывается следующим образом:

целевая функция:

F = c₁х₁ + c₂х₂+……c_nх_n → max (min) (2.1)

ограничения:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n {≤ = ≥} b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n {≤ = ≥} b₂,

………………………………. (2.2)

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n {≤ = ≥} b_m;

требование неотрицательности:

x_i ≥ 0, i = 1,n (2.3)

При этом a_ij, b_i, c_j (   ) - заданные постоянные величины.

Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (2.1) при соблюдении ограничений (2.2) и (2.3). Систему ограничений (2.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (2.3) - прямыми.

Вектор , удовлетворяющий ограничениям (2.2) и (2.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План

, при котором функция (2.1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным.

Матричная запись задачи ЛП имеет вид:

Ах {≤ = ≥} в

х ≥ 0

F = c x → max (min)

Здесь А – матрица коэффициентов, х – столбец переменных,

в- столбец правых частей, с - строка коэффициентов целевой функции.

С каждой задачей линейного программирования тесно связана другая задача линейного программирования - двойственная задача (их так и называют - пара двойственных задач):

Прямая задача Двойственная задача

а₁₁х₁ + а₁₂х₂+……а_1nх_n ≤ в₁ а₁₁у₁ + а₂₁у₂+……а_m1y_m ≥ c₁

а₂₁х₁ + а₂₂х₂+……а_2nх_n ≥ в₂ а₁₂y₁ + а₂₂y₂+……а_m2y_m ≥ c₂

…………………………… …………,,,,,,,,,,,,,……, (2.4)

а_m1х₁ + а_m2х₂+……а_mnх_n ≤ в_m а_1ny₁ + а_2ny₂+……а_mny_n ≥ c_n

x_i ≥ 0, i = 1,n y_i ≥ 0, i = 1,m

F = c₁х₁ + c₂х₂+……c_nх_n → max G = b₁y₁ + b₂y₂+……b_m→ min

Как было сказано выше, вектор х, удовлетворяющий ограничениям задачи, называют планом и совокупность таких векторов - множеством планов. План называется опорным , если он обращает в равенство хотя бы n независимых ограничений (2.2)-(2.3) (в вершине пересекаются хотя бы n граничных гиперплоскостей). Понятие опорного плана в задаче ЛП является очень важным поскольку как следует из теории оптимальный план всегда является опорным.

На этом свойстве основан основной метод решения задачи ЛП - симплексный метод. Суть его состоит в упорядоченном переборе опорных планов. Алгоритм сводится к следующему:

• выбирается первоначальное опорное решение;

• выбранный план проверяется на оптимальность;

• если план не оптимален, осуществляется переход к лучшему плану;

• процедура повторяется до тех пор, пока не будет найдено оптимальное решение, либо определено что оптимального решения нет.

Алгоритм симплекс-метода реализован в среде Microsoft Excel, меню Сервис-Поиск решения. В соответствующих ячейках задаются коэффициенты целевой функции, ограничений и указывается, какая задача решается (max или min). Форма представления исходных данных и результатов решения приведены в прил. 3.

Менеджеру производственной фирмы требуется составить оптимальный по прибыли план выпуска запчастей двух видов, используя для этого ресурсы трех типов. Их запасы ограничены значениями в₁, в₂, в₃ соответственно. Пусть а₁₁, а₁₂ количество ресурсов первого типа, расходуемых на запчасти каждого вида, соответственно. Аналогичный смысл имеют символы а₂₁, а₂₂ и а₃₁, а₃₂.

Ожидаемая прибыль от реализации одной запчасти каждого вида составляет с₁, с₂ условных единиц, соответственно.

Требуется:

а) записать условия задачи в таблицу стандартной формы;

б) решить задачу графоаналитическим способом (на миллиметровке);

в) решить задачу табличным симплекс- методом

г) решить задачу в среде EXCEL

в) составить и решить двойственную задачу, указать дефицитные ресурсы, выяснить, как изменится оптимальная прибыль при увеличении запасов каждого из дефицитных ресурсов на 5 единиц, соответственно.

Исходные данные:

в₁ = 300 - 5V, в₂ = 120-2V, в₃ = 252-, с₁= 30, с₂ = 40, а₁₁= 12, а₁₂= 4,

а₂₁ = 4, а₂₂ = 4 , а₃₁ =3, а_{3 2}= 12.