Лекция 12.

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестные функции, независимую переменную и производные неизвестных функций (или их дифференциалы).

В форме ДУ представляется большинство физических законов. Однако число ДУ, которые решаются в замкнутом виде (аналитически) весьма ограничено. При решении ДУ можно использовать прием «разложение в ряд», хотя при большом количестве членов ряда решение становится громоздким и не всегда эффективным. Поэтому при решении многих инженерных задач используются численные методы (приближенные), предполагающие определенного рода дискретизацию области определения, а также упрощенную форму организации решения.

Если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, то ДУ называется обыкновенным (ОДУ), если от нескольких – уравнением в частных производных (УЧП).

Наиболее общий вид ДУ:

,

где y=y(x) – искомая функция.

Порядком ДУ называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.

Степенью уравнения называется наивысшая степень старшей производной.

Уравнение n-го порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции y=y(x) и всех ее производных, т.е. если в уравнение (см. выше) величины y,.., y⁽ⁿ⁾ входят только в первой степени или отсутствуют. При этом отсутствовать может любая из величин, но не старшая.

Постановка задач и методы численного решения ОДУ. Начальная и краевая задачи. Численное решение задачи Коши.

Решение ДУ n-го порядка в самом простейшем случае сводится с n-кратному интегрированию заданной функции. Поэтому в состав его общего решения должны входить n произвольных постоянных: С₁, С₂,…, С_n. В частности, в общее решение уравнения первого порядка входит только одна произвольная постоянная С = С₁, так как в этом случае n = 1. При n = 2, т.е. в случае уравнения второго порядка, в общее решение будут входить две произвольные постоянные: С₁ и С₂, и т.д.

Такую же структуру сохраняет общее решение (или общий интеграл) и во всех других случаях ДУ n-го порядка. Поэтому, для того, чтобы задачу сделать однозначной, необходимо задать n каких-либо дополнительных условий, из которых можно определить n постоянных. Если все эти условия заданы в начальной точке х=х₀, т.е. если в точке х=х₀ задана сама функция y(x₀) и все ее производные до порядка (n – 1) включительно, то рассматриваемая задача называется задачей с начальными условиями, или задачей Коши.

Если же условия заданы на концах рассматриваемого интервала, то задача называется краевой (необходимо найти такое решение уравнения, которое проходило бы через две заданные точки: х=х₁, y=y(x₁) и х=х₂, y=y(x₂).

Существую и другие типы задач интегрирования уравнений.

Традиционно в задаче Коши дополнительные условия называют начальными, а в краевой задаче – граничными.

Для примера численного решения задачи Коши возьмем простейший случай уравнения 1-го порядка, заданного в явной форме:

(1)

и начальное условие y(x₀)=y₀. (2)

Требуется найти функцию y=y(x), удовлетворяющую как уравнению (1), так и условию (2).

Обычно численное решение задачи Коши получают, вычисляя сначала значение производной, а затем, задавая малое приращение h независимой переменной x, переходят к новой точке x_k+1 = x_k + h, где k = 0, 1, 2,….

Положение новой точки определяют по наклону кривой, вычисленному с помощью правой части уравнения (1), т.е. из того, что производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной в этой точке.

Таким образом, график численного решения представляет собой последовательность коротких прямолинейных отрезков (ломаную кривую), которыми аппроксимируется истинная кривая y=y(x). Численный метод определяет порядок действий при переходе от данной точки кривой к следующей.

Численное решение задачи Коши широко применяется в различных областях науки и техники. Причем методы решения можно разделить на две группы.

1. Одношаговые. Для нахождения следующей точки на кривой y=y(x) требуется информация о значении переменной лишь в предыдущей точке. Одношаговыми являются методы Эйлера и Рунге-Кутты.

2. Многошаговые (или методы прогноза и коррекции). Для нахождения следующей точки на кривой y=y(x) требуется информация о более чем одной предыдущей точке. Многошаговыми являются методы Милна, Адамса-Башфорта и Хемминга.

Источники погрешностей и типы ошибок численного решения.

Существует три вида погрешностей в зависимости от источника.

1. Погрешность округления – вызвана регистровым ограничением на представление числа в ЭВМ.

2. Погрешность усечения – для аппроксимации функции берется ограниченное число членов ряда (часто 2 – 3 члена ряда).

3. Погрешность распространения – результаты накопления погрешностей на предыдущих этапах расчета.

Эти источники вызывают ошибки двух типов.

1. Локальная - сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на каждом шаге вычислений.

2. Глобальная – разность между вычисленным и точным значением величины, определяющая погрешность, накопленную с момента начала вычисления.