Лекция 10.
Поучительность примеров.
Примеры используются при выборе метода исследования того или иного класса задач. По сути они являются уже готовыми моделями изучаемого явления.
Каждый пример имитирует исследуемую модель лишь по некоторым свойствам. Серия примеров способствует пониманию этих свойств в более общем интересующем случае.
Примеры часто удается исследовать значительно детальнее и с более высокой степенью достоверности, чем основную модель. Так формируется правильная интуиция исследователя. На примерах проверяются гипотезы, и серия примеров может показать степень их достоверности и применимости.
На практике поучительность примеров заключается в том, что подбирается некоторый упрощенный пример, отражающий качественную (иногда количественную) характеристику отдельного объекта.
Подобные задачи называются эталонными. Глубокие исследования эталонной задачи позволяют уточнить качественные свойства решений, а на основании сравнения с другими моделями или с экспериментом – установить адекватность данной модели.
Лекция 11.
Вычислительная техника.
Прикладная математика базируется на математике вычислительной, которая с появлением ЭВМ претерпела существенные изменения, заключающиеся в том, что ей стало доступным вычисление практически любых функционалов, даже тех, которые построены на вероятностных характеристиках стохастических процессов. (Стохастические – это случайные процессы, течение которых может быть различным в зависимости от случая, и для которых существует вероятность того или иного течения. Например: изменение координат частиц в броуновском движении.)
Математические модели таких явлений можно условно разделить на два типа: аналитические и статистические.
Аналитические – связаны с составлением и решением (точным либо приближенным) соответствующих систем уравнений и удобны для анализа, вычисления и оптимизации результатов для сравнительно простых задач.
Статистические (например, метод Монте-Карло) – используются для более сложных задач. Здесь модели реализуются в виде программы для ЭВМ, а случайные компоненты вводятся с помощью датчика случайных чисел.
Например, одним из направлений таких моделей являются имитаторы. Когда в качестве датчика случайных чисел используется человеческий фактор (на таком принципе построены компьютерные игры).
Общая схема решения задач для ЭВМ включает три этапа.
Первый: разработка ММ и алгоритма ее представления в ЭВМ (в том числе кодировка), здесь расчеты носят характер набросков, определяется объем вычислений, машинное время и тд.
Второй: отладка алгоритма, и соответственно ММ, на ЭВМ. Может оказаться достаточно длительным. Здесь проверяется, в основном, насколько полно рассматриваемая модель отражается в алгоритме на ЭВМ.
Третий: интерпретация результатов. Здесь производится как объяснение результатов, так и проверка того, насколько соответствуют результаты физической модели и не является ли часть из них следствием формально представленных вычислений, а не физических закономерностей.
Если ошибки носят концептуальный характер, осуществляется переход к первому этапу, его корректировки, и так далее по циклу с изменение как качественных, так и количественных характеристик в модели относительно объекта.
Ошибки округления.
В ВТ есть понятие «машинного слова». Это количество регистровой памяти, выделяемое ЭВМ под число. Оно может быть значением константы, переменным, адресом и т.д. И поскольку МС конечно, а величина вещественного числа бесконечна, в особенности, число знаков после запятой, то при вычислении имеют место ошибки округления.
Величина ОО зависит от числа регистров и от числа операций.
С проблемой ОО непосредственной связана проблема так называемой обусловленности системы уравнений, из которых определяются необходимые величины. Если система уравнений плохо обусловлена, то малые изменения исходных данных могут привести к немалому изменению решения. Такие системы особенно чувствительны к ОО.
Как и вычислительная неустойчивость, плохая обусловленность может быть обнаружена либо из теоретических соображений, либо эмпирически – путем повторного вычисления с измененными в рамках реально осмысленной точности исходными данными.
Гораздо более серьезной трудностью вычисления на ЭВМ является существенное увеличение числа независимых переменных. Например, сгущение сетки КЭ на той же области определения.
Существуют различные подходы для компенсации ОО. Наиболее простой из них – увеличение количества регистров под машинное слово.
Второй способ – применение различного рода корректирующих (сглаживающих) алгоритмов, основанных на вычислительных подходах.
В любом случае, чтобы быть защищенным от ОО, при движении к получению результата необходимо идти последовательно от грубого, может быть аналитического решения, к более сложному.
Волевые действия.
Волевые действия необходимы при внесении качественных изменений в модель, в особенности они сопутствуют отчетливо недедуктивному рациональному переходу. Здесь возникает множество вопросов.
Можно ли считать то или иное рациональное рассуждение в данной конкретной ситуации доказательным?
Является ли выбранная модель адекватной?
Является ли решение математической задачи в рамках выбранной модели достаточно точным?
Можно ли на основании полученного решения дать те или иные выводы и рекомендации?
Роль волевых действий особенно велика, если необходимо удовлетворить нескольким требованиям, которые могут противоречить друг другу.